第三章：中心极限定理(一)

与经典的经典中心极限定理（要求独立同分布 i.i.d.）不同，本章我们将探索更具一般性的中心极限定理，即随机变量是独立但不同分布 (independent but not identically distributed, i.n.i.d.) 的情况。

1. 双重数组与复数极限定理 (Double Arrays & A Lemma)

在处理不同分布的随机变量之和时，我们通常将其表示为“双重数组”（或三角阵列）的形式。

定义 3.1：双重独立随机向量数组 (Double Array)

对于每一个 \(n \ge 1\)，设 \(\{X_{n1}, X_{n2}, \dots, X_{nk_n}\}\) 是定义在概率空间 \((\Omega_n, \mathcal{F}_n, P_n)\) 上的一组随机向量，满足对于给定的 \(n\)，\(X_{n1}, \dots, X_{nk_n}\) 相互独立，且当 \(n \to \infty\) 时，\(k_n \to \infty\)。那么称 \(\{X_{nj} : 1 \le j \le k_n\}_{n \ge 1}\) 为一个双重独立随机向量数组。

本章常用记号：

期望：\(\alpha_{nj} = E(X_{nj})\)，行的总期望 \(\alpha_n = \sum_{j=1}^{k_n} E(X_{nj}) = \sum_{j=1}^{k_n} \alpha_{nj}\)
部分和：\(S_n = \sum_{j=1}^{k_n} X_{nj}\)
方差：\(\sigma_{nj}^2 = Var(X_{nj})\)，行的总方差 \(\sigma_n^2 = \sum_{j=1}^{k_n} \sigma_{nj}^2\)

为了处理特征函数的乘积，我们需要引入一个复数序列乘积的极限引理。

引理 3.2：复数序列的乘积极限

设 \(\{\theta_{nj} : 1 \le j \le k_n\}_{n \ge 1}\) 为一个复数双重数组，满足当 \(n \to \infty\) 时：

(i) 均匀趋于 0：\(\max_{1 \le j \le k_n} |\theta_{nj}| \to 0\) (ii) 绝对和一致有界：\(\sum_{j=1}^{k_n} |\theta_{nj}| \le M < \infty\)（其中 \(M\) 与 \(n\) 无关） (iii) 和收敛：\(\sum_{j=1}^{k_n} \theta_{nj} \to \theta\)（其中 \(\theta\) 为有限复数）

那么其连乘积收敛于指数函数：

\[ \prod_{j=1}^{k_n} (1 + \theta_{nj}) \rightarrow e^\theta \]

(注：这推广了微积分中经典的 \(\lim_{n \to \infty} (1 + \theta/n)^n = e^\theta\) 结论，即将 \(\theta_{nj} \equiv \theta/n\) 代入该引理。)

引理 3.2 的详细证明（点击展开）

对于非零复数 \(z\)，复对数主值定义为 \(Log~z = \log|z| + i Arg~z\)，其中 \(Arg~z \in [-\pi, \pi]\)。当 \(|z| < 1\) 时，复对数存在如下泰勒级数展开：

\[ \log(1+z) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{z^m}{m} \]

由条件 (i)，存在 \(n_0\)，使得对所有的 \(n > n_0\) 有 \(\max_{1 \le j \le k_n} |\theta_{nj}| \le 1/2\)。此时 \(|\theta_{nj}| < 1\) 且 \(1+\theta_{nj} \neq 0\)。考察其对数展开与一次项的截断误差：

\[ |\log(1+\theta_{nj}) - \theta_{nj}| = \left| \sum_{m \ge 2} (-1)^{m-1} \frac{\theta_{nj}^m}{m} \right| \le \sum_{m \ge 2} \frac{|\theta_{nj}|^m}{m} \]

提取出二次项，并利用等比数列求和界定剩余项：

\[ \le \frac{|\theta_{nj}|^2}{2} \sum_{m=2}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{m-2} = |\theta_{nj}|^2 < 1 \]

由于误差绝对值被界定在 \(|\theta_{nj}|^2\) 内，我们可以将其写为：

\[ \log(1+\theta_{nj}) = \theta_{nj} + \Lambda_{nj}|\theta_{nj}|^2, \quad \text{其中 } |\Lambda_{nj}| < 1 \]

对一行求和：

\[ \sum_{j=1}^{k_n} \log(1+\theta_{nj}) = \sum_{j=1}^{k_n} \theta_{nj} + \sum_{j=1}^{k_n} \Lambda_{nj}|\theta_{nj}|^2 \]

利用条件 (i) 和 (ii)，估计误差项的总和：

\[ \left| \sum_{j=1}^{k_n} \Lambda_{nj}|\theta_{nj}|^2 \right| \le \max_{1 \le j \le k_n} |\theta_{nj}| \sum_{j=1}^{k_n} |\theta_{nj}| \le \left( \max_{1 \le j \le k_n} |\theta_{nj}| \right) \cdot M \rightarrow 0 \]

结合条件 (iii) \(\sum_{j=1}^{k_n} \theta_{nj} \to \theta\)，可得：

\[ \sum_{j=1}^{k_n} \log(1+\theta_{nj}) \rightarrow \theta \]

两边同时取复指数映射，引理得证。\(\square\)

2. 李雅普诺夫中心极限定理 (Liapounov's CLT)

如果随机变量序列拥有高于二阶的矩，我们可以给出一个非常容易验证的充分条件。

定理 3.3：李雅普诺夫 CLT (Liapounov's Theorem)

对于双重数组 \(\{X_{nj} : 1 \le j \le k_n\}_{n \ge 1}\)，定义其三阶中心绝对矩之和为 \(\Gamma_n = \sum_{j=1}^{k_n} E|X_{nj} - \alpha_{nj}|^3\)，假设对于每个 \(n\) 该值均有限。如果满足李雅普诺夫条件 (Liapounov's Condition)：

\[ \frac{\Gamma_n}{\sigma_n^3} = \frac{1}{\sigma_n^3} \sum_{j=1}^{k_n} E|X_{nj} - \alpha_{nj}|^3 \rightarrow 0 \quad \text{as } n \to \infty \]

那么标准化和将依分布收敛于标准正态：

\[ \frac{S_n - \alpha_n}{\sigma_n} \rightarrow N(0,1) \]

(注：三阶矩可以被放宽到 \(2+\delta\) 阶矩，其中 \(\delta > 0\)。)

定理 3.3 的严格证明（点击展开）

设 \(\gamma_{nj} = E|X_{nj} - \alpha_{nj}|^3\)。由 Liapounov 矩不等式可知：

\[ \sigma_{nj} = (E|X_{nj} - \alpha_{nj}|^2)^{1/2} \le (E|X_{nj} - \alpha_{nj}|^3)^{1/3} = \gamma_{nj}^{1/3} \]

所以 \(\sigma_{nj}^3 \le \gamma_{nj}\)。进而有：

\[ \max_{1 \le j \le k_n} \sigma_{nj}^3 \le \max_{1 \le j \le k_n} \gamma_{nj} \le \sum_{j=1}^{k_n} \gamma_{nj} = \Gamma_n \]

设 \(\phi_{nj}(t)\) 是标准化变量 \((X_{nj} - \alpha_{nj})/\sigma_n\) 的特征函数。因为 \(\gamma_{nj}\) 有限，特征函数可进行三阶泰勒展开：

\[ \phi_{nj}(t) = 1 - \frac{\sigma_{nj}^2 t^2}{2\sigma_n^2} + \frac{\Lambda_{nj}}{6} \frac{\gamma_{nj} t^3}{\sigma_n^3}, \quad \text{其中 } |\Lambda_{nj}| < 1 \]

为了应用引理 3.2，我们令 \(\theta_{nj} = \phi_{nj}(t) - 1\)，并验证它的三个条件：

验证 (i)：

\[ \max_j |\phi_{nj}(t) - 1| \le \frac{t^2}{2\sigma_n^2} \max_j \sigma_{nj}^2 + \frac{|t|^3}{6\sigma_n^3} \max_j \gamma_{nj} \]

由于 \(\sigma_{nj}^2 = (\sigma_{nj}^3)^{2/3} \le (\max_j \sigma_{nj}^3)^{2/3}\)，我们有：

\[ \frac{\max \sigma_{nj}^2}{\sigma_n^2} \le \left( \frac{\max \sigma_{nj}^3}{\sigma_n^3} \right)^{2/3} \le \left( \frac{\Gamma_n}{\sigma_n^3} \right)^{2/3} \rightarrow 0 \]

同时 \(\max_j \gamma_{nj} / \sigma_n^3 \le \Gamma_n / \sigma_n^3 \rightarrow 0\)。因此 \(\max_j |\theta_{nj}| \to 0\)，条件 (i) 成立。

验证 (ii)：

\[ \sum_{j=1}^{k_n} |\phi_{nj}(t) - 1| \le \frac{t^2}{2\sigma_n^2} \sum_{j=1}^{k_n} \sigma_{nj}^2 + \frac{|t|^3}{6} \frac{\Gamma_n}{\sigma_n^3} = \frac{t^2}{2} + \frac{|t|^3}{6} \frac{\Gamma_n}{\sigma_n^3} \le M(t) \]

此为有界量，条件 (ii) 成立。

验证 (iii)：

由于误差项之和满足：

\[ \left| \sum_{j=1}^{k_n} \frac{\Lambda_{nj} \gamma_{nj}}{\sigma_n^3} \right| \le \frac{\Gamma_n}{\sigma_n^3} \rightarrow 0 \]

因此特征函数偏移量之和的极限为：

\[ \sum_{j=1}^{k_n} (\phi_{nj}(t) - 1) = -\frac{t^2}{2} + t^3 \sum_{j=1}^{k_n} \frac{\Lambda_{nj} \gamma_{nj}}{\sigma_n^3} \rightarrow -\frac{t^2}{2} \]

条件 (iii) 成立。

综上所述，根据引理 3.2，独立标准化变量之和的特征函数满足：

\[ \prod_{j=1}^{k_n} \phi_{nj}(t) = \prod_{j=1}^{k_n} (1 + (\phi_{nj}(t) - 1)) \rightarrow e^{-t^2/2} \]

根据 Lévy-Cramér 连续性定理，结果得证。\(\square\)

对于单一下标的一般序列，该推论同样适用：

推论 3.4 (单序列)

设 \(\{X_n\}_{n \ge 1}\) 是一列独立的随机向量序列。令 \(\alpha_j = E(X_j)\)，\(\sigma_j^2 = Var(X_j)\) 且 \(\gamma_j = E|X_j - \alpha_j|^3 < \infty\)。令 \(P_n = \sum_{j=1}^n \gamma_j\)。如果 \(P_n / \sigma_n^3 \rightarrow 0\)，则：

\[ \frac{S_n - \sum_{j=1}^n \alpha_j}{\sigma_n} \rightarrow N(0,1) \]

3. 林德伯格嵌套法 (Lindeberg's Telescoping Method)

在不使用特征函数的情况下，直接运用解析技巧（Stein方法的前身）也可以证明 CLT。

假设 \(\alpha_j = 0\)。引入一列服从标准正态分布的辅助随机变量 \(Y_1, \dots, Y_n\)，使得它们与 \(X_j\) 相互独立，且 \(Y_j \sim N(0, \sigma_j^2)\) 匹配前两阶矩。令 \(Y_0 = \sum_{i=1}^n Y_i / \sigma_n \sim N(0,1)\)。

我们目标是证明对所有有界且具备各阶有界导数的测试函数 \(f \in C_B^\infty\)：

\[ E\left[f\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sigma_n}\right)\right] - E[f(Y_0)] \rightarrow 0 \]

需要借助如下定理：

定理 3.5 (Chung 6.1.6)

设 \(\{\mu_n\}\) 为一列概率测度。如果对于所有无穷次可微且各阶导数均有界的测试函数 \(f \in C_B^\infty\)，满足：

\[ \int f(x) \mu_n(dx) \rightarrow \int f(x) \mu(dx) \]

其中 \(\mu\) 是一个概率测度，那么 \(\mu_n\) 弱收敛于 \(\mu\) 。

根据定理 3.5 (Chung 6.1.6)，如果上述期望对所有的测试函数收敛，则概率测度弱收敛。

基于望远镜展开法的证明核心

构造混合部分和序列 \(Z_j\)： \(Z_j = Y_1 + \dots + Y_{j-1} + X_{j+1} + \dots + X_n\) （对于 \(2 \le j \le n-1\)）。边界为 \(Z_1 = X_2 + \dots + X_n\) 且 \(Z_n = Y_1 + \dots + Y_{n-1}\)。

我们将全量差异写成了逐项替换的嵌套和 (Telescoping sum)：

\[ E\left[f\left(\frac{\sum X_i}{\sigma_n}\right)\right] - E\left[f\left(\frac{\sum Y_i}{\sigma_n}\right)\right] = \sum_{i=1}^n \left[ E\left[f\left(\frac{Z_i + X_i}{\sigma_n}\right)\right] - E\left[f\left(\frac{Z_i + Y_i}{\sigma_n}\right)\right] \right] \]

对 \(f\) 在 \(Z_i/\sigma_n\) 处进行三阶泰勒展开：

\[ f\left(\frac{Z_i + X_i}{\sigma_n}\right) = f\left(\frac{Z_i}{\sigma_n}\right) + f'\left(\frac{Z_i}{\sigma_n}\right)\frac{X_i}{\sigma_n} + \frac{1}{2}f''\left(\frac{Z_i}{\sigma_n}\right)\frac{X_i^2}{\sigma_n^2} + \theta_i^{(1)}\frac{X_i^3}{3!\sigma_n^3} \]

由于 \(X_i\) 和 \(Y_i\) 前两阶矩完全相同，取期望后一阶项与二阶项完美抵消。只剩下三阶误差项，受三阶导数上界 \(M\) 限制：

\[ \le \sum_{i=1}^n \frac{M}{3!\sigma_n^3} (\gamma_i + \sqrt{\frac{8}{\pi}}\sigma_i^3) \le \frac{M_1}{6}\frac{\Gamma_n}{\sigma_n^3} \rightarrow 0 \]

此方法为 Stein 方法和高维随机向量的高斯逼近提供了基石。

推论 3.6 截断方法预备定理

如果存在双重数组 \(|X_{nj}/\sigma_n| \le M_{nj}\) a.s. 且 \(\lim_{n \to \infty} \max_j M_{nj} = 0\)，则标准化和收敛于正态分布。

4. 零阵列 (Null Arrays)

为了探讨 CLT 成立的充分必要条件，我们需要排除某个单一变量在总体方差中占据统治地位的病态情况。

定义 3.7：零阵列

如果一个双重数组满足：对于任意 \(\epsilon > 0\)，

\[ \lim_{n \to \infty} \max_{1 \le j \le k_n} P(|X_{nj} - \alpha_{nj}| > \epsilon \sigma_n) = 0 \]

那么称该双重数组为零阵列 (Null array)。这等价于表示每个分量 \((X_{nj} - \alpha_j)/\sigma_n\) 在 \(n \to \infty\) 时对于 \(j\) 是一致依概率退化到 0 的。

利用特征函数，我们可以给出一个非常便于计算的等价刻画：

命题 3.8：零阵列的特征函数等价形式

双重数组 \(\{X_{nj}\}\) 是零阵列，当且仅当对于所有的 \(t \in \mathbb{R}\)：

\[ \lim_{n \to \infty} \max_{1 \le j \le k_n} |\phi_{nj}(t) - 1| = 0 \]

并且此收敛在任意有限区间 \([-K, K]\) 上是一致的。

等价性证明（点击展开）

(\(\Rightarrow\) 方向)：不失一般性设 \(\alpha_j = 0\)。将期望分解为在阈值 \(\epsilon\sigma_n\) 内和外的两部分：

\[ |\phi_{nj}(t) - 1| \le E\left[ |e^{itX_{nj}/\sigma_n} - 1| \mathbb{I}(|X_{nj}| > \epsilon\sigma_n) \right] + E\left[ |e^{itX_{nj}/\sigma_n} - 1| \mathbb{I}(|X_{nj}| \le \epsilon\sigma_n) \right] \]

利用不等式 \(|e^{itu} - 1| \le |tu|\) 和复指数模的界限 2：

\[ \le 2 P(|X_{nj}| > \epsilon\sigma_n) + |t| \epsilon \]

因为是在 \([-K, K]\) 的有界闭集上：

\[ \sup_{|t|\le K} \max_j |\phi_{nj}(t) - 1| \le 2 \max_j P(|X_{nj}| > \epsilon\sigma_n) + K\epsilon \]

当 \(n \to \infty\) 第一项由零阵列定义趋于 0，第二项由于 \(\epsilon\) 任意也可任意小，故一致收敛得证。

(\(\Leftarrow\) 方向)：利用经典的特征函数不等式：

\[ P\left(\left|\frac{X_{nj}}{\sigma_n}\right| > \frac{2}{\delta}\right) \le \frac{1}{\delta} \int_{|t|\le\delta} (1 - \phi_{nj}(t)) dt \le \frac{1}{\delta} \int_{|t|\le\delta} |1 - \phi_{nj}(t)| dt \]

两边取 max 后：

\[ \max_j P\left(\left|\frac{X_{nj}}{\sigma_n}\right| > \frac{2}{\delta}\right) \le \max_j \frac{1}{\delta} \int_{|t|\le\delta} |1 - \phi_{nj}(t)| dt \]

由积分的有界收敛定理 (BCT) 及已知条件，上式极限趋于 0。命题得证 \(\square\)。

5. 林德伯格-费勒中心极限定理 (Lindeberg-Feller CLT)

当我们只知道二阶矩存在，而三阶矩不一定存在时，李雅普诺夫条件失效。此时林德伯格条件 (Lindeberg Condition) 成为了独立变量 CLT 成立的最精确的充分条件。

定义 3.9：林德伯格条件 (LC)

对于双重数组 \(\{X_{nj}\}\)，如果对于任意 \(\epsilon > 0\)，其截尾方差比率满足：

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sigma_n^2} \sum_{j=1}^{k_n} E \left[ (X_{nj} - \alpha_{nj})^2 \mathbb{I}(|X_{nj} - \alpha_{nj}| > \epsilon \sigma_n) \right] = 0 \]

则称该数组满足林德伯格条件。

这结合下面的引理引出了独立变量渐近分布理论的著名定理：

引理 3.10 (对角线构造法)

设 \(u(m, n)\) 是定义在正整数 \(m\) 和 \(n\) 上的函数，满足对于每一个固定的 \(m\)，有：

\[ \lim_{n \to \infty} u(m, n) = 0 \]

那么存在一个单调递增并趋于无穷的序列 \(\{m_n\}\) (\(m_n \to \infty\))，使得：

\[ \lim_{n \to \infty} u(m_n, n) = 0 \]

引理 3.10 的证明（点击展开）

由于对于每个固定的 \(m\)，\(\lim_{n \to \infty} u(m, n) = 0\)，因此根据极限定义，必然存在一个下标 \(n_m\)，使得对于所有的 \(n \ge n_m\)，都有：

\[ u(m, n_m) \le \frac{1}{m} \]

通过这种方式，我们可以构造出一个严格单调递增并趋于无穷的序列 \(\{n_m\}_{m \ge 1}\)。

对于任何满足 \(n_m \le n < n_{m+1}\) 的 \(n\)，我们令 \(m_n \equiv m\)。

由此，当 \(n \ge n_m\) 时，根据构造有：

\[ u(m_n, n) = u(m, n) \le \frac{1}{m} \]

由于当 \(n \to \infty\) 时，\(n_m\) 所对应的索引 \(m \to \infty\)，因此 \(m_n\) 也单调递增趋于无穷。根据上式夹逼可知：

\[ \lim_{n \to \infty} u(m_n, n) = 0 \]

证明完毕。\(\square\)

定理 3.11：林德伯格-费勒 CLT (Lindeberg-Feller)

假设 \(Var(X_{nj}) = \sigma_{nj}^2 < \infty\)，\(S_n = \sum_{j=1}^{k_n} X_{nj}\)。那么以下两组命题等价：

(i) \(\frac{S_n - E S_n}{\sigma_n} \rightarrow N(0,1)\) 且 (ii) 该双重数组是零阵列。
\(\Longleftrightarrow\) 该双重数组满足林德伯格条件 (LC)。

定理核心证明推导（点击展开）

(1) 充分性证明：LC \(\Rightarrow\) CLT 且零阵列

假设 \(E(X_{nj})=0\) 且 \(\sigma_n^2 = 1\)。定义基于截断点 \(\eta \in (0, 1)\) 的截断随机变量： \(X_{nj}' = X_{nj}\) (若 \(|X_{nj}| < \eta\))，否则为 0。

计算截断后的期望与方差：

\[ |E[X_{nj}']| = \left| \int_{|x|<\eta} x dF_{nj}(x) \right| = \left| -\int_{|x|\ge\eta} x dF_{nj}(x) \right| \le \frac{1}{\eta} \int_{|x|\ge\eta} x^2 dF_{nj}(x) \]

求和后，由于 LC 条件，总期望趋于 0。同时，截断后的方差 \(\sigma_n'^2 \to 1 = \sigma_n^2\)。根据引理 3.10（对角线构造法则），我们可以选取一个单调递增趋于无穷的序列 \(m_n \to \infty\)，并令 \(\eta_n = m_n^{-1} \to 0\)。利用 \(\eta_n\) 作为截断阈值，这保证了 \(|X_{nj}'| \le \eta_n := M_{nj}\)。由于 \(\max M_{nj} = \eta_n \to 0\)，根据前面推论 3.6 (有界变量 CLT)，我们有 \((S_n' - ES_n')/\sigma_n' \to N(0,1)\)，故 \(S_n' \to N(0,1)\)。

最后评估未截断和与截断和的差异：

\[ P(S_n \neq S_n') \le \sum_{j=1}^{k_n} P(|X_{nj}| \ge \eta_n) \le \sum_{j=1}^{k_n} \frac{1}{\eta_n^2} \int_{|x| > \eta_n} x^2 dF_{nj}(x) \rightarrow 0 \quad \text{(由 LC 保证)} \]

由 Slutsky 定理，由于误差为 \(o_p(1)\)，最终可得 \(S_n \to N(0,1)\)。

(2) 必要性证明：CLT + 零阵列 \(\Rightarrow\) LC

由 \(S_n \xrightarrow{d} N(0,1)\) 可知连乘特征函数的对数：

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^{k_n} \log \phi_{nj}(t) = -\frac{t^2}{2} \]

零阵列保证了 \(\max_j |\phi_{nj}(t) - 1| \to 0\)。利用 \(\log \phi_{nj}(t)\) 与 \(\phi_{nj}(t) - 1\) 的等价关系：

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^{k_n} (\phi_{nj}(t) - 1) = -\frac{t^2}{2} \]

提取其实部：

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_j \int_{-\infty}^{\infty} (1 - \cos tx) dF_{nj}(x) = \frac{t^2}{2} \]

将积分拆分为 \(|x| \le \eta\) 和 \(|x| > \eta\) 的两部分，并利用不等式 \(0 \le 1 - \cos tx \le (tx)^2/2\)：

\[ \frac{t^2}{2} - \sum_j \int_{|x|\le\eta} (1 - \cos tx) dF_{nj}(x) \ge \frac{t^2}{2} \sum_j \int_{|x| \ge \eta} x^2 dF_{nj}(x) \]

通过界定积分外部部分受切比雪夫不等式的控制（\(\le 2/\eta^2 + \epsilon\)），令 \(t \to \infty\) 取极限，最后逼出 \(\sum_{j=1}^{k_n} E[X_{nj}^2 \mathbb{I}(|X_{nj}| > \eta)] \to 0\)，这恰好是林德伯格条件 LC。\(\square\)

6. 应用与判定扩展 (Applications & Further Conditions)

应用示例：普通最小二乘回归 (OLS Regression)

考虑经典线性回归模型 \(y_j = x_j \beta + \epsilon_j\)，其中误差项 \(\epsilon_j \sim (0, \sigma_\epsilon^2)\) 且 i.i.d.。设计矩阵满足 \(\max_{1 \le j \le n} \frac{|x_j|}{a_n} \to 0\)，其中 \(a_n^2 = \sum_{j=1}^n x_j^2\)。 OLS 估计量为 \(\hat{\beta}_{LS} = \sum x_j y_j / a_n^2\)。

构造标准化双重数组 \(X_{nj} = \frac{x_j \epsilon_j}{\sqrt{\sum x_j^2}}\)。我们将林德伯格条件中的截断积分进行放缩：令 \(m_n = \max_j |x_j/a_n|\)，

\[ \frac{1}{\sigma_n^2 a_n^2} \sum_{j=1}^n x_j^2 E\left[ \epsilon_j^2 \mathbb{I}(|x_j \epsilon_j / a_n| > \delta \sigma_n) \right] \le \frac{1}{\sigma_\epsilon^2} E\left[ \epsilon_j^2 \mathbb{I}(|\epsilon_j| > \delta \sigma_\epsilon m_n^{-1}) \right] \]

由于 \(\epsilon_j\) 同分布且二阶矩有限，当 \(m_n \to 0\) 时，该期望趋于 0。由 Theorem 3.11 立刻得到：

\[ a_n(\hat{\beta}_{LS} - \beta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma_\epsilon^2) \]

验证 LC 条件时，除了利用有界截断，我们还可以利用高阶矩的存在性，这就是李雅普诺夫类型条件的扩展。

命题 3.12：林德伯格条件的充分判定

对于双重数组 \(\{X_{nj}\}\)，如果存在某个实数 \(\nu > 2\)，满足：

\[ \sum_{j=1}^{k_n} E|X_{nj} - \mu_{nj}|^\nu = o(\sigma_n^\nu) \]

那么，该数组必然满足林德伯格条件。

证明推导（点击展开）

在截尾区域 \(|t - \mu_{nj}| > \epsilon \sigma_n\) 内，我们对其二阶矩积分进行放缩：

\[ E\left[ (X_{nj} - \mu_{nj})^2 \mathbb{I}(|X_{nj} - \mu_{nj}| > \epsilon \sigma_n) \right] = \int_{|t - \mu_{nj}| > \epsilon \sigma_n} (t - \mu_{nj})^2 dF_{nj}(t) \]

通过强行凑出 \(\nu\) 次方，提出常数项：

\[ \le (\epsilon \sigma_n)^{2-\nu} \int_{|t - \mu_{nj}| > \epsilon \sigma_n} (t - \mu_{nj})^\nu dF_{nj}(t) \le (\epsilon \sigma_n)^{2-\nu} E|X_{nj} - \mu_{nj}|^\nu \]

求和并除以 \(\sigma_n^2\)：

\[ \frac{1}{\sigma_n^2} \sum_{j=1}^{k_n} E\left[ \dots \right] \le \epsilon^{2-\nu} \frac{\sum_{j=1}^{k_n} E|X_{nj} - \mu_{nj}|^\nu}{\sigma_n^\nu} \rightarrow 0 \]

林德伯格条件得证。\(\square\)