第三章：随机积分
在经典的微积分中，可以定义黎曼-斯蒂尔杰斯积分 \(\int g(t) dX(t)\)。但当积分微元变成布朗运动 \(dW(t)\) 时，由于其样本轨道是粗糙的，不能用传统的方法定义。本节展示从确定性被积函数向随机被积函数跨越的演进过程，并引出 Itô 积分的概念。
1. Paley-Wiener-Zygmund (PWZ) 随机积分
最简单的情形是：被积函数 \(g(t)\) 是一个普通的确定性函数，而积分变量是布朗运动。
定义：PWZ 随机积分
设 \(W(t)\) 为标准布朗运动。假设 \(g(t) \in C^1([0, T])\) 是一阶连续可导的确定性函数。 利用分部积分公式（Integration by Parts），将 PWZ 随机积分 定义为：
由于 \(W(0) = 0\) a.s.，上式通常简写为：
这里右侧的积分是普通的黎曼积分（因为 \(W(t)\) 的样本轨道是 a.s. 连续的，\(g'(t)\) 是连续的，所以积分良定）。
定理：PWZ 积分的核心性质
对于上述定义的 PWZ 积分，满足以下两个极其重要的性质（也是后续所有随机积分的基石）：
(1) 期望为零：
(2) Itô 等距同构 (Itô Isometry)：
等距同构性质的严格推导（点击展开）
我们直接从 PWZ 积分的定义出发，计算其平方的期望（假设 \(g(0)=0\) 或为简化书写将其吸收到常数项中，此处采用你手稿中更本质的双重积分法推导）：
将平方写成双重积分的形式：
利用 Fubini 定理交换期望与积分的顺序：
代入布朗运动的自协方差函数 \(E[W(t)W(s)] = t \wedge s\)：
利用对称性，将积分区域拆分为 \(s \le t\) 和 \(t \le s\) 两部分：
通过分部积分和代数化简（手稿此处略过繁杂代数步骤），上式最终将完美收缩为目标形式：
2. 稠定有界线性算子的保范延拓 (BLT 定理)
刚才的 PWZ 积分要求 \(g(t) \in C^1\)。但在实际应用中，我们需要对更一般的 \(L^2\) 函数进行积分。这需要借助泛函分析中的工具：有界线性算子延拓定理 (BLT Theorem)。
定理：稠定有界线性算子的保范延拓
设 \(X, Y\) 为 Banach 空间，\(S\) 为 \(X\) 中稠密的线性子空间。 设 \(T: S \to Y\) 为一个有界线性算子，即存在常数 \(C > 0\)，使得对任意 \(x \in S\)：
则存在唯一的有界线性算子 \(\overline{T}: X \to Y\)，使得对于所有的 \(x \in S\)，都有 \(\overline{T}x = Tx\)（即 \(\overline{T}|_S = T\)）。 此外，算子的算子范数保持不变：\(\|\overline{T}\| = \|T\| \le C\)。
BLT 定理的构造性证明（点击展开）
第一步：构造极限映射 由于 \(S\) 在 \(X\) 中稠密，对于任意的 \(x \in X\)，必然存在 \(S\) 中的序列 \(\{x_n\}\) 使得 \(x_n \to x\)。 因为 \(T\) 在 \(S\) 上是有界（连续）的，我们考察序列 \(\{Tx_n\}\) 在 \(Y\) 中的距离：
由于 \(\{x_n\}\) 是收敛列，它必然是 Cauchy 列（柯西列）。因此，当 \(n, m \to \infty\) 时，\(\|x_n - x_m\|_X \to 0\)。 这就意味着 \(\{Tx_n\}\) 是 Banach 空间 \(Y\) 中的 Cauchy 列。由于 \(Y\) 是完备的，极限 \(\lim_{n \to \infty} Tx_n\) 必定存在。我们定义：
第二步：证明定义的合理性（与序列选择无关） 假设有另一个序列 \(x_n' \to x\)，我们需要证明 \(\lim Tx_n' = \lim Tx_n\)。 设 \(y = \lim Tx_n\)，\(y' = \lim Tx_n'\)。
故 \(y = y'\)，映射 \(\overline{T}\) 定义良定。
第三步：证明线性和保范性 线性是极限的自然推论。对于保范性，对任意 \(x \in X\) 及逼近列 \(x_n \to x\)：
故 \(\overline{T}\) 有界，且范数不超过 \(C\)。\(\square\)
应用：PWZ 积分向 \(L^2\) 空间的延拓
我们将被积函数空间取为 \(X = L^2([0, T])\)，积分结果空间取为 \(Y = L^2(\Omega, P)\)。 稠密子空间取为 \(S = C^1([0, T])\)。 定义算子 \(T: g \mapsto \int_0^T g(t) dW(t)\)。
由 Itô 等距同构知，对于任意 \(g \in S\)：
这意味着算子 \(T\) 是一致等距的（算子范数 \(C=1\)）。由 BLT 定理，我们可以将 PWZ 积分完美且唯一地延拓到整个 \(L^2([0, T])\) 空间。
3. 布朗运动的二次变差 (Quadratic Variation)
不能用传统的黎曼积分处理随机积分的问题根本在于布朗运动轨道的“粗糙性”，即其二次变差性质。
考虑时间区间 \([0, T]\) 的一个划分 \(P = \{0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m = T\}\)，网格模长 \(|P| = \max (t_{k+1} - t_k)\)。
定理 1：布朗运动的二次变差等于时间 \(T\)
当网格不断细化 \(|P| \to 0\) 时，布朗运动增量的平方和在 \(L^2(\Omega, P)\) 的意义下收敛于 \(T\)：
二次变差 \(L^2\) 收敛的严格推导（点击展开）
为了证明 \(L^2\) 收敛，我们需要证明其与 \(T\) 的均方误差趋于 0。 由于 \(\sum_{k=0}^{m-1} (t_{k+1} - t_k) = T\)，我们可以将目标误差写为：
令 \(\Delta W_k = W(t_{k+1}) - W(t_k)\)，\(\Delta t_k = t_{k+1} - t_k\)。展开平方项，分为平方项和交叉项：
关键点 1：交叉项为 0。 由于布朗运动具有独立增量性质，当 \(k \neq j\) 时，\(\Delta W_k\) 与 \(\Delta W_j\) 独立。且由于 \(E[(\Delta W_k)^2] = \Delta t_k\)，每个因式的期望均为 0，故交叉项整体期望为 0。
关键点 2：平方项的计算。 只剩下对角线上的方差项。注意到 \(\Delta W_k \sim \mathcal{N}(0, \Delta t_k)\)，因此可以标准化表示为 \(\sqrt{\Delta t_k} Z\)，其中 \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\)。
由于标准正态分布的四阶矩 \(E[Z^4] = 3\)，\(E[Z^2] = 1\)，所以 \(E[(Z^2 - 1)^2] = 3 - 2(1) + 1 = 2\)。
我们放大这个和式：提取出一个最大的 \(\Delta t_k\) 即网格模长 \(|P|\)：
当 \(|P| \to 0\) 时，\(2 |P| T \to 0\)。故在 \(L^2\) 意义下收敛于 \(T\)。\(\square\)
这个定理直接导出了一个关于布朗运动性质的推论：
定理 2：布朗运动处处无界变差 (Infinite Total Variation)
几乎所有的布朗运动样本轨道 \(W(t, \omega)\) 在任何区间上的全变差都是无穷大。
反证法极简证明：如果某条轨道有界的总变差 \(V_T < \infty\)，那么它的二次变差可以放缩为： \(\sum (\Delta W_k)^2 \le (\max_k |\Delta W_k|) \sum |\Delta W_k| \le (\max_k |\Delta W_k|) \cdot V_T\) 由于轨道连续，当分割无限细化时 \(\max |\Delta W_k| \to 0\)。这会导致二次变差趋于 0，与定理 1 中二次变差等于 \(T > 0\) 产生绝对矛盾！
4. 随机积分的 Riemann 和与 Itô 积分的引出
那我们如何计算 \(\int_0^T W(t) dW(t)\)？ 回到黎曼和的定义，我们能观察到一个在经典微积分中不会出现的现象：取值点的改变，将导致积分结果的巨大改变。
构造划分 \(P\)，并在每个子区间 \([t_k, t_{k+1}]\) 中取一点 \(\tau_k = (1-\lambda)t_k + \lambda t_{k+1}\) (\(\lambda \in [0, 1]\))。 考察黎曼和：
积分结果对 \(\lambda\) 取值的依赖
为了清晰展示，我们研究 \(\lambda = 0\)（取左端点，即 Itô 积分）的特殊情况，此时 \(\tau_k = t_k\)：
代数恒等式拆分与 Itô 积分的极限求解（点击展开）
这是一个极其巧妙的代数技巧。利用恒等式 \(a(b-a) = \frac{1}{2}\big( b^2 - a^2 - (b-a)^2 \big)\)，我们将每一项改写： 令 \(a = W(t_k), b = W(t_{k+1})\)：
将所有的项加起来，原和式分裂为两部分 \(B_1\) 和 \(B_2\)：
分析 \(B_1\)：这是一个完美的交错求和（Telescoping sum），中间项全部抵消：
分析 \(B_2\)：这正是布朗运动的二次变差！根据定理 1，当划分细化时，它在 \(L^2\) 意义下收敛：
综上所述，当 \(\lambda = 0\) 时（Itô 积分），我们得到：
(注：后面多出来的 \(-\frac{1}{2}T\) 项称为 Itô 校正项) \(\square\)
两种最重要的积分流派： * 当 \(\lambda = 0\) 时（取左端点），即为 Itô 积分，结果为 \(\frac{1}{2}W(T)^2 - \frac{1}{2}T\)。它保持了鞅的性质，常用于金融数学领域。 * 当 \(\lambda = 1/2\) 时（取中点），即为 Stratonovich 积分，校正项相互抵消，结果为 \(\frac{1}{2}W(T)^2\)，形式上与经典微积分一致，常用于物理和工程领域。
5. 严格 Itô 积分的测度论准备
为了将 Itô 积分推广到更一般的随机过程（不只是 \(W(t)\)），我们需要严格定义什么叫做“不管未来，只看过去”。这需要我们引入流 (Filtration) 和适应过程 (Adapted Process) 的概念。
定义：信息流与 \(\sigma\)-代数
1. 布朗运动的自然流： 对于任意时刻 \(t\)，布朗运动历史轨迹产生的信息记为 \(\sigma\)-代数：
它包含了直到时刻 \(t\) 为止布朗运动所有的路径信息。
2. 未来增量的独立性： 我们定义未来的增量信息流 \(\mathcal{F}^t \triangleq \sigma(\{W(s) - W(t) \mid s > t\})\)。根据布朗运动的独立增量性质，\(\mathcal{F}^t\) 与历史流 \(\mathcal{F}_W(t)\) 是完全独立的。
3. 一般信息流 (Filtration)： 一族满足以下条件的 \(\sigma\)-代数 \(\{\mathcal{F}(t)\}_{t \ge 0}\)：
-
单调性：\(\mathcal{F}(s) \subset \mathcal{F}(t)\) 对任意 \(0 \le s \le t\)（信息不遗忘）。
-
包含历史：\(\mathcal{F}_W(t) \subset \mathcal{F}(t)\)。
-
未来独立：增量 \(W(s) - W(t)\) 与 \(\mathcal{F}(t)\) 独立。
有了关于“信息”这一概念的数学框架，我们就可以确定哪些随机过程是可以被 Itô 积分的。
定义：适应过程与循序可测 (Adapted & Progressively Measurable)
1. 适应过程 (Adapted Process)： 若对于每一个固定的时刻 \(t\)，随机变量 \(G(t, \omega)\) 都是 \(\mathcal{F}(t)\)-可测的，则称随机过程 \(G(t)\) 是关于流 \(\{\mathcal{F}(t)\}\) 适应的。 (直观理解：在时刻 \(t\) 这一刻，你只要知道了所有的历史信息 \(\mathcal{F}(t)\)，你就知道此时刻 \(G(t)\) 的值，绝不需要未来的信息。)
2. 循序可测 (Progressively Measurable)： 一个更强的条件。映射 \((s, \omega) \mapsto G(s, \omega)\) 在乘积空间 \([0, t] \times \Omega\) 上的 \(\mathcal{B}([0, t]) \otimes \mathcal{F}(t)\) 域上是联合可测的。这保证了在时间区间上的黎曼或勒贝格积分操作是合法的。
在本书后续的构建中，Itô 积分 \(\int_0^T G(t, \omega) dW(t)\) 将在以下希尔伯特空间中被严格定义：