第四章：Itô 积分与随机微分

上一章将积分推广到了 \(L^2\) 空间，现在我们正式定义随机过程的 Itô 积分，并建立起一套区别于经典微积分的体系——Itô 微积分 (Itô Calculus)。

1. 适应过程的 Itô 积分与等距同构

对于一个随机过程 \(G(t, \omega)\)，由于布朗运动 \(W(t)\) 的路径粗糙，我们无法采用逐点定义的黎曼-斯蒂尔杰斯积分，须基于时间网格的左端点（不知未来）定义。

定义：Itô 积分 (The Itô Integral)

设 \(\{W(t)\}_{t \ge 0}\) 为标准布朗运动，\(\{\mathcal{F}(t)\}\) 为其信息流。 假设随机过程 \(G(t) \in L^2(0, T)\)，且 \(G(t)\) 是适应过程 (Adapted Process)（即在时刻 \(t\) 的取值只依赖于历史信息 \(\mathcal{F}(t)\)）。

对于区间 \([0, T]\) 的划分 \(P = \{0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m = T\}\)，定义其 Riemann 和为：

\[ R_m = \sum_{k=0}^{m-1} G(t_k) \big( W(t_{k+1}) - W(t_k) \big) \]

当网格模长 \(|P| \to 0\) 时，如果该和式在 \(L^2(\Omega, P)\) 意义下收敛，其极限即定义为 \(G(t)\) 关于布朗运动的 Itô 积分：

\[ \int_0^T G(t) dW(t) = \lim_{|P| \to 0} \sum_{k=0}^{m-1} G(t_k) \big( W(t_{k+1}) - W(t_k) \big) \]

利用简单函数（阶梯过程）逼近的方法定义这一积分后有如下性质：

定理 1：Itô 积分的核心性质

设 \(G(t), H(t) \in L^2(0, T)\) 均为适应过程，\(a, b \in \mathbb{R}\) 为常数。

(1) 线性性：

\[ \int_0^T (aG(t) + bH(t)) dW(t) = a \int_0^T G(t) dW(t) + b \int_0^T H(t) dW(t) \quad a.s. \]

(2) 期望为零：

\[ E\left[ \int_0^T G(t) dW(t) \right] = 0 \]

(3) Itô 等距同构 (Itô Isometry)：

\[ E\left[ \left( \int_0^T G(t) dW(t) \right)^2 \right] = \int_0^T E[G(t)^2] dt \]

期望为零与 Itô 等距同构的严格证明（点击展开）

我们利用简单函数（Step Functions）对性质进行证明。设 \(G_k = G(t_k)\)。

1. 证明期望为零：

\[ E\left[ \sum_{k} G_k \big(W(t_{k+1}) - W(t_k)\big) \right] = \sum_k E\Big[ G_k \big(W(t_{k+1}) - W(t_k)\big) \Big] \]

由于 \(G(t)\) 是适应过程，\(G_k\) 关于 \(\mathcal{F}(t_k)\) 可测；而布朗运动具有独立增量性质，增量 \(\Delta W_k = W(t_{k+1}) - W(t_k)\) 与 \(\mathcal{F}(t_k)\) 完全独立。利用期望的独立乘法性质（或条件期望）：

\[ E[G_k \Delta W_k] = E[G_k] \cdot E[\Delta W_k] = E[G_k] \cdot 0 = 0 \]

因此和式的期望为 0。

2. 证明 Itô 等距同构： 展开积分平方的期望（利用 Fubini 定理交换期望与求和）：

\[ E\left[ \left(\sum_k G_k \Delta W_k \right)^2 \right] = E\left[ \sum_{k} \sum_{j} G_k G_j \Delta W_k \Delta W_j \right] \]

将双重求和拆分为三部分：\(k > j\)、\(k < j\) 以及 \(k = j\)。

分析交叉项 (\(k \neq j\))：不失一般性，假设 \(k > j\)。此时时间点满足 \(t_j < t_{j+1} \le t_k < t_{k+1}\)。 在这四个随机变量 \(G_k, G_j, \Delta W_j, \Delta W_k\) 中，前三个完全属于历史信息 \(\mathcal{F}(t_k)\)，而最后一个增量 \(\Delta W_k\) 在 \(t_k\) 之后，与 \(\mathcal{F}(t_k)\) 独立。 利用塔牌性质（Tower Property），先对 \(\mathcal{F}(t_k)\) 求条件期望：

\[ E\Big[ G_k G_j \Delta W_j \Delta W_k \Big] = E\Big[ E\big[ G_k G_j \Delta W_j \Delta W_k \mid \mathcal{F}(t_k) \big] \Big] \]

由于 \(G_k, G_j, \Delta W_j\) 已知可提取：

\[ = E\Big[ G_k G_j \Delta W_j \underbrace{ E[\Delta W_k \mid \mathcal{F}(t_k)] }_{= 0} \Big] = 0 \]

因此，所有交叉项的期望全为 0。

分析对角项 (\(k = j\))： 只剩下对角线上的平方项：

\[ \sum_{k} E\Big[ G_k^2 (\Delta W_k)^2 \Big] \]

同样利用条件期望，将 \(\Delta W_k\) 的平方提取出来：

\[ = \sum_{k} E\Big[ E\big[ G_k^2 (\Delta W_k)^2 \mid \mathcal{F}(t_k) \big] \Big] = \sum_k E\Big[ G_k^2 E\big[ (\Delta W_k)^2 \mid \mathcal{F}(t_k) \big] \Big] \]

由于增量独立且方差为 \(\Delta t_k = t_{k+1} - t_k\)，所以 \(E[(\Delta W_k)^2 | \mathcal{F}(t_k)] = \Delta t_k\)。代入得：

\[ = \sum_k E[G_k^2] (t_{k+1} - t_k) \]

当 \(|P| \to 0\) 时，这个黎曼和直接收敛于黎曼积分 \(\int_0^T E[G(t)^2] dt\)。等距同构得证！\(\square\)

简单函数逼近到\(L^2(0, T)\)空间即可。

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2. 不定积分与连续鞅性质

如果我们把积分的上限 \(T\) 换成一个变量 \(t\)，我们就得到了随机过程的不定积分 (Indefinite Integral)。这在本质上是在定义随机过程。

定义：Itô 不定积分

设 \(G \in L^2(0, T)\)，定义其不定积分为随机过程 \(I(t)\)：

\[ I(t) = \int_0^t G(s) dW(s), \quad 0 \le t \le T \]

显然初始条件为 \(I(0) = 0\)。

定理：Itô 积分是连续平方可积鞅

由 Itô 积分定义的不定积分过程 \(\{I(t)\}_{t \ge 0}\) 具有极其完美的数学性质： 它不仅几乎必然具有连续的样本轨道，而且是一个关于自然信息流的鞅 (Martingale)。

鞅性质证明（点击展开）

对于任意 \(0 \le s \le t \le T\)，我们需要证明 \(E[I(t) \mid \mathcal{F}(s)] = I(s)\) a.s.。

将区间 \([0, t]\) 在 \(s\) 点拆断：

\[ I(t) = \int_0^s G(\tau) dW(\tau) + \int_s^t G(\tau) dW(\tau) = I(s) + \int_s^t G(\tau) dW(\tau) \]

两边同时对 \(\mathcal{F}(s)\) 取条件期望：

\[ E[I(t) \mid \mathcal{F}(s)] = E\left[ I(s) + \int_s^t G(\tau) dW(\tau) \bigg| \mathcal{F}(s) \right] \]

由于 \(I(s)\) 的积分域在 \([0, s]\) 内，它显然是 \(\mathcal{F}(s)\)-可测的，故已知即常数（直接提出）。 对于后半部分，利用 Itô 积分期望为 0 的性质的条件版本：

\[ = I(s) + E\left[ \int_s^t G(\tau) dW(\tau) \bigg| \mathcal{F}(s) \right] = I(s) + 0 = I(s) \]

因此，\(I(t)\) 是一个鞅。

(注：关于连续性的严格证明需要用到 Doob 极大值不等式与 Borel-Cantelli 引理构造 \(L^2\) Cauchy 列的一致收敛，手稿中有提及，思路与布朗运动构造极其相似，此处略去解析学繁冗细节) \(\square\)

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3. Itô 过程与乘积法则 (Integration by Parts)

有了积分，下一步就是研究其微分形式。

定义：Itô 过程 (Itô Process) 与 SDE

设 \(F(t) \in L^1(0,T)\)，\(G(t) \in L^2(0,T)\) 均为适应过程。定义随机过程 \(X(t)\)：

\[ X(t) = X(0) + \int_0^t F(s) ds + \int_0^t G(s) dW(s) \]

上式通常被写为直观的随机微分方程 (SDE) 形式：

\[ dX(t) = F(t) dt + G(t) dW(t) \]

这里 \(F(t)dt\) 称为漂移项 (Drift)，代表确定性趋势；\(G(t)dW(t)\) 称为扩散项 (Diffusion)，代表随机扰动。

在经典的莱布尼茨微积分中，\(d(X_1 X_2) = X_1 dX_2 + X_2 dX_1\)。但在随机分析中，由于布朗运动的二次变差不为 0，我们必须引入额外的二次修正项。

定理：Itô 乘积法则 (Product Rule)

设有两个 Itô 过程 \(dX_i = F_i dt + G_i dW \quad (i=1,2)\)。 那么它们的乘积 \(X_1(t)X_2(t)\) 也是一个 Itô 过程，且满足：

\[ d(X_1 X_2) = X_1 dX_2 + X_2 dX_1 + dX_1 dX_2 \]

这里需要应用以下著名的Itô 乘法表 (Itô Multiplication Table) 展开 \(dX_1 dX_2\)：

\(\times\)	\(dt\)	\(dW\)
\(dt\)	0	0
\(dW\)	0	\(dt\)

(核心直觉：因为 \(dW \sim \sqrt{dt}\)，所以 \((dW)^2 = dt\)。而带有高于一次 \(dt\) 的项在极限下皆为高阶无穷小 0)。

直接展开应用：

\[ dX_1 dX_2 = (F_1 dt + G_1 dW)(F_2 dt + G_2 dW) = G_1 G_2 (dW)^2 = G_1 G_2 dt \]

所以展开后的全写形式为：

\[ d(X_1 X_2) = (X_1 F_2 + X_2 F_1 + G_1 G_2) dt + (X_1 G_2 + X_2 G_1) dW \]

例 1： \(d(W^2) = W dW + W dW + (dW)^2 = 2W dW + dt\) （由此可立刻得出积分形式：\(\int_0^t W dW = \frac{1}{2}W^2(t) - \frac{1}{2}t\)，与上章黎曼和极限完全一致！）

例 2： \(d(tW) = t dW + W dt + dt \cdot dW = t dW + W dt\)

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4. 随机微分中的Itô 公式 (Itô's Formula)

Itô 公式是整个随机微积分的“链式法则 (Chain Rule)”，可用于求解各种非随机现象的方程。

定理：Itô 公式

设 \(X(t)\) 为一个 Itô 过程，\(dX(t) = F dt + G dW\)。 设 \(U(x, t): \mathbb{R} \times [0, T] \to \mathbb{R}\) 为一个二阶连续可导 (\(C^{2,1}\)) 的确定性函数。 定义新的随机过程 \(Y(t) = U(X(t), t)\)。则 \(Y(t)\) 的随机微分满足泰勒展开到二阶的截断形式：

\[ dU(X(t), t) = \frac{\partial U}{\partial t} dt + \frac{\partial U}{\partial x} dX + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} (dX)^2 \]

将 \(dX\) 的表达式和 Itô 乘法表 \((dX)^2 = G^2 dt\) 代入重整，得到标准的 Itô 公式：

\[ dU(X(t), t) = \left( \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial U}{\partial x} F + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} G^2 \right) dt + \frac{\partial U}{\partial x} G dW \]

Itô 公式多项式应用示例（点击展开）

针对多项式 \(f(x) = x^m\) 进行推导验证， 由 Itô 公式：

\[ df(X) = f'(X) dX + \frac{1}{2} f''(X) (dX)^2 \]

代入导数 \(f'(x) = m x^{m-1}\) 和 \(f''(x) = m(m-1) x^{m-2}\)：

\[ d(X^m) = m X^{m-1} dX + \frac{1}{2} m(m-1) X^{m-2} G^2 dt \]

这与使用前面乘积法则 \(d(x \cdot x^{k-1})\) 逐步递推得出的结论完全一致，印证了随机微积分算子代数体系的自洽性。

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5. Fokker-Planck 方程

有了 Itô 公式，我们不仅能研究微观的单条随机轨道，还能直接得出宏观的概率密度函数的确定性规律。这就是 Fokker-Planck 方程，也被称为 Kolmogorov 向前方程 (KFE)。

推导：Fokker-Planck 方程

考虑一般的扩散过程 (SDE)：

\[ dX(t) = b(X, t) dt + \sigma(X, t) dW(t) \]

设在时刻 \(t\)，系统处于状态 \(x\) 的概率密度函数为 \(p(x, t)\)。 我们取一个任意的有界且在无穷远处消失的二次可导测试函数 \(\phi(x)\)。 根据 Itô 公式展开 \(d\phi(X(t))\)：

\[ d\phi(X(t)) = \phi'(X) dX + \frac{1}{2} \phi''(X) (dX)^2 = \phi'(X) \big[b(X, t) dt + \sigma(X, t) dW\big] + \frac{1}{2} \phi''(X) \sigma^2(X, t) dt \]

对等式两边同时取期望（此时扩散项 \(\int \sigma dW\) 具有鞅性质，其期望消去）：

\[ E[\phi(X(t))] = E[\phi(X(0))] + \int_0^t E\left[ \phi'(X) b(X, s) + \frac{1}{2} \phi''(X) \sigma^2(X, s) \right] ds \]

利用密度函数 \(p(x, t)\)，将期望写成关于空间 \(x\) 的积分形式：

\[ \int_{\mathbb{R}} \phi(x) p(x, t) dx = \int_{\mathbb{R}} \phi(x) p(x, 0) dx + \int_0^t \int_{\mathbb{R}} \left( \phi'(x) b(x, s) + \frac{1}{2} \phi''(x) \sigma^2(x, s) \right) p(x, s) dx ds \]

两边对时间 \(t\) 求导：

\[ \int_{\mathbb{R}} \phi(x) \frac{\partial p}{\partial t} dx = \int_{\mathbb{R}} \left( \phi'(x) b(x, t) + \frac{1}{2} \phi''(x) \sigma^2(x, t) \right) p(x, t) dx \]

关键所在：两次分部积分 (Integration by Parts)。 为了将导数算子从测试函数 \(\phi\) 上剥离转移到密度函数 \(p\) 上，我们在右侧进行分部积分（假设边界处 \(\phi\) 及其导数衰减为 0）：

第一项：

\[ \int_{\mathbb{R}} \phi'(x) \big(b(x, t) p(x, t)\big) dx = -\int_{\mathbb{R}} \phi(x) \frac{\partial}{\partial x}\big(b(x, t) p(x, t)\big) dx \]

第二项（连续分部积分两次）：

\[ \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} \phi''(x) \big(\sigma^2(x, t) p(x, t)\big) dx = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} \phi(x) \frac{\partial^2}{\partial x^2}\big(\sigma^2(x, t) p(x, t)\big) dx \]

合并后，因为方程对于任意的测试函数 \(\phi(x)\) 都成立，所以积分解内的函数本身必然相等。这样便得到了Fokker-Planck 方程：

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x} \big( b(x, t) p(x, t) \big) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \big( \sigma^2(x, t) p(x, t) \big) \]

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