📝 课后习题精解：多元 Itô 公式与 SDE 求解实战
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本页面收录了《随机微分方程》课程第五章（多元 Itô 公式）与第六章（随机微分方程的精确求解）的核心课后习题解答。内容涵盖了多维布朗运动的微积分法则、鞅的构造与验证、Bessel 过程，以及利用积分因子法和待定函数法求解复杂 SDE 的高级实战技巧。
Part I: 第五章 多元 Itô 公式与鞅的验证
习题 1
题目 设 \(W = (W^1, \cdots, W^n)\) 是 \(n\) 维 Brown 运动。证明 \(Y(t) = |W(t)|^2 - nt\) (\(t \ge 0\)) 是鞅。
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这道题可以通过多维 Itô 公式直接证明漂移项为 0。
首先，将 \(n\) 维布朗运动的模长平方展开为各分量的平方和：
对单个分量 \((W^i(t))^2\) 应用一维 Itô 公式：
将所有分量求和，根据微分的线性性质：
现在回到原过程 \(Y(t) = |W(t)|^2 - nt\)，对其求微分：
将其写成积分形式：
由于等式右侧只包含关于布朗运动的 Itô 积分，且被积函数 \(2W^i(s)\) 在紧区间上是平方可积的，因此该积分过程是一个鞅。故 \(Y(t)\) 也是一个鞅。得证。
习题 2
题目 设 \(W = (W^1, \cdots, W^n)^T\) 是 \(n\) 维 Brown 运动。记 \(R = |W|\)。证明 \(R\) 满足如下随机贝塞尔 (Bessel) 方程
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这里我们令多元函数 \(f(x) = |x| = \left(\sum_{i=1}^n (x^i)^2\right)^{1/2}\)。计算其偏导数：
一阶偏导数：
二阶偏导数（利用商的求导法则）：
多维 Itô 公式中需要用到拉普拉斯算子（所有二阶纯偏导之和），对其求和：
将 \(X_t = W_t\) 代入 \(n\) 维 Itô 公式 \(df(W_t) = \sum_{i=1}^n f_{x^i} dW^i + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n f_{x^i x^i} dt\) （注：由于不同维度的布朗运动独立，交叉项 \(dW^i dW^j = 0\)）：
整理后即得高维 Bessel 过程的经典形式：
得证。
习题 3
题目 (1) 验证 \(X = (\cos W, \sin W)\) 是 \(dX^1 = -\frac{1}{2}X^1 dt - X^2 dW, \quad dX^2 = -\frac{1}{2}X^2 dt + X^1 dW\) 的解 (2) 证明 若 \(X = (X^1, X^2)\) 是上述方程组的解，则 \(|X|\) 是与时间无关的常数
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(1) 验证解的形式 已知 \(X^1 = \cos W(t)\)，对其应用一维 Itô 公式：
已知 \(X^2 = \sin W(t)\)，同样应用 Itô 公式：
计算结果与题干给出的 SDE 完全一致，故 \(X = (\cos W, \sin W)\) 是方程组的解。
(2) 证明模长守恒 我们考察 \(|X|^2 = (X^1)^2 + (X^2)^2\) 的微分。由乘积法则（或 Itô 公式）：
将方程组代入，并注意二次变差 \(\langle dX^1, dX^1 \rangle = (-X^2)^2 dt = (X^2)^2 dt\)：
同理，对于 \(X^2\)：
将两式相加：
由于 \(d(|X|^2) = 0\)，这意味着模长平方不随时间变化，因此 \(|X|\) 是与时间无关的常数。得证。
习题 4
题目 证明 \(X(t) = (W(t)+t)\exp\left(-W(t)-\frac{1}{2}t\right)\) 是鞅
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验证鞅的标准化做法是：设 \(X(t) = u(W(t), t)\)，利用 Itô 公式展开并证明漂移项（\(dt\) 项）恒为 0。
令函数 \(u(x, t) = (x+t)\exp\left(-x-\frac{1}{2}t\right)\)。我们分别计算其偏导数：
对 \(t\) 求导：
对 \(x\) 求一阶导：
对 \(x\) 求二阶导：
现在我们代入 Itô 漂移项公式：\(drift = u_t + \frac{1}{2}u_{xx}\)
提取公因式 \(\exp\left(-x-\frac{1}{2}t\right)\)：
因为漂移项 \(u_t + \frac{1}{2}u_{xx} \equiv 0\)，这就意味着 \(dX(t) = u_x dW(t)\)，由于没有 \(dt\) 项，该积分过程构成一个鞅。得证。
习题 5
题目 证明 随机微分方程 \(dX(t) = \frac{1}{3}X(t)^{1/3} dt + X(t)^{2/3} dW(t)\) 满足初值 \(X(0) = x_0 > 0\) 的解是 \(X(t) = \left( x_0^{1/3} + \frac{1}{3}W(t) \right)^3\)
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这道题是检验“猜解验证”法则的经典题目。 我们直接将给定的解 \(X(t)\) 视为复合函数形式，并通过 Itô 公式求出它的随机微分，看是否与题目 SDE 吻合。
令辅助过程 \(Y(t) = x_0^{1/3} + \frac{1}{3}W(t)\)，那么原解可写为 \(X(t) = Y(t)^3\)。
首先，辅助过程 \(Y(t)\) 的微分为：
其二次变差为：
接下来，利用 Itô 公式对 \(f(Y) = Y^3\) 进行展开。计算导数：\(f'(Y) = 3Y^2\)，\(f''(Y) = 6Y\)。
代入 \(dY(t)\) 和 \((dY(t))^2\)：
最后，因为 \(Y(t) = X(t)^{1/3}\)，将其代回上式以消除辅助变量 \(Y\)：
这与题目中给定的随机微分方程完全一致！且当 \(t=0\) 时，\(X(0) = (x_0^{1/3} + 0)^3 = x_0\)，初值也满足。因此证明完毕。
Part II: 第六章 随机微分方程的求解实战
习题 1
题目 求解随机微分方程 (1) \(dX = X dt + e^{-t} dW\) (2) \(dX_1 = dt + dW_1, \quad dX_2 = X_1 dW_2\)
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(1) 求解 \(dX_t = X_t dt + e^{-t} dW_t\) 这是一个线性 SDE，我们可以利用积分因子法。移项得到 \(dX_t - X_t dt = e^{-t} dW_t\)。 考虑乘上积分因子 \(F_t = e^{-t}\)，我们考察过程 \(Y_t = e^{-t} X_t\) 的微分：
代入原方程的 \(dX_t\)：
对两边积分：
代回 \(Y_t = e^{-t}X_t\)，得到最终解：
(2) 求解 \(dX_1 = dt + dW_1, \quad dX_2 = X_1 dW_2\) 这是一个层级 SDE，先解第一层。对第一式直接积分：
将求出的 \(X_1(t)\) 显式表达代入第二式：
直接积分得到最终解：
习题 2
题目 证明 \(X(t) = (a\cos W(t), b\sin W(t))^T\) (其中 \(a, b\) 是正的常数) 是如下随机微分方程的解
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这道题将矩阵形式引入了 SDE。我们将给定的矩阵展开为方程组。 令矩阵 \(M = \begin{pmatrix} 0 & -a/b \\ b/a & 0 \end{pmatrix}\)，那么 \(MX = \begin{pmatrix} 0 & -a/b \\ b/a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X^1 \\ X^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{a}{b}X^2 \\ \frac{b}{a}X^1 \end{pmatrix}\)。
因此，原 SDE 等价于如下两个标量方程：
现在我们验证给定的解 \(X^1 = a\cos W, X^2 = b\sin W\)。 对 \(X^1\) 应用 Itô 公式：
将 \(X^1\) 和 \(X^2\) 的定义代入右侧观察：由于 \(X^2 = b\sin W\)，即 \(\sin W = X^2/b\)，因此 \(-a\sin W = -a(X^2/b) = -\frac{a}{b}X^2\)。
这与第一条标量方程完全吻合！
同理验证 \(X^2\)：
由于 \(X^1 = a\cos W\)，即 \(\cos W = X^1/a\)，因此 \(b\cos W = \frac{b}{a}X^1\)。代入得：
这与第二条标量方程完全吻合。验证通过。
习题 3
题目 证明 \(X_t = e^{W_t}\) 是如下随机微分方程的一个解：
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这道题是黑尔斯-斯科尔斯 (Black-Scholes) 几何布朗运动模型的最简退化版本。
令函数 \(f(x) = e^x\)。将其导数 \(f'(x) = e^x, f''(x) = e^x\) 以及 \(W_t\) 代入 Itô 公式：
由于二次变差 \((dW_t)^2 = dt\)，代入指数函数：
再将 \(X_t = e^{W_t}\) 的定义代换回等式右侧的系数：
交换顺序即为 \(dX_t = \frac{1}{2}X_t dt + X_t dW_t\)，与题目中的方程完美一致。得证。
习题 4
题目 求解随机微分方程
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由于方程的系数显式地包含了时间 \(t\) 和布朗运动 \(W_t\)，我们采用待定函数法 (Guess and Verify)。 假设解具有形式 \(X_t = f(t, W_t)\)。对多元函数 \(f\) 展开 Itô 公式：
将它与题目给定的 SDE 进行逐项系数对比：
1. 匹配 \(dW_t\) 的系数：
对 \(w\) 偏积分，得到函数 \(f\) 的结构：
其中 \(g(t)\) 是仅依赖于时间的待定积分常数函数。
2. 匹配 \(dt\) 的系数： 先计算假设函数 \(f\) 的其余偏导： \(f_t(t, w) = e^t w^2 + g'(t)\) \(f_{ww}(t, w) = 2e^t\)
将它们代入漂移项，要求其必须等于原方程的 \(dt\) 系数：
而原方程的 \(dt\) 系数为 \(e^t(1+w^2)\)。令两者相等：
说明 \(g(t) = C\)（常数）。
3. 代入初始条件： 解的形式定为 \(X_t = W_t + e^t W_t^2 + C\)。 已知 \(X_0 = 0\)，且 \(W_0 = 0\)：
因此，该随机微分方程的精确解为：
习题 5
题目 求解随机微分方程
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这是一个非常具有挑战性的非线性 SDE。由于方程包含 \(1/X_t\)，提示我们先利用平方变换来消去分母。
第一步：变量代换（线性化） 令 \(Y_t = X_t^2\)。对其应用 Itô 公式：
代入原方程 \(dX_t = \frac{1}{X_t}dt + \alpha X_t dW_t\)，并注意二次变差 \((dX_t)^2 = \alpha^2 X_t^2 dt = \alpha^2 Y_t dt\)：
整理后得到关于 \(Y_t\) 的线性 SDE：
第二步：构造积分因子解线性 SDE 为了消去 \(Y_t\) 的比例项，我们构造积分因子 \(F_t\) 满足 \(dF_t = F_t ( -\alpha^2 dt - 2\alpha dW_t )\)。 根据几何布朗运动的知识，该积分子为：
（注：根据 Itô 展开，可以验证 \(dF_t = F_t (3\alpha^2 dt - 2\alpha dW_t)\)）。 我们现在计算乘积 \(d(Y_t F_t)\) 的微分，利用乘积法则 \(d(YF) = Y dF + F dY + \langle dY, dF \rangle\)： 交叉变差项 \(\langle dY_t, dF_t \rangle = (2\alpha Y_t)(-2\alpha F_t) dt = -4\alpha^2 Y_t F_t dt\)。
展开计算：
观察 \(dW_t\) 的系数：\(Y_t F_t(-2\alpha) + F_t(2\alpha Y_t) = 0\)（完美抵消）。 观察 \(dt\) 的系数：\(Y_t F_t(3\alpha^2) + F_t(2 + \alpha^2 Y_t) - 4\alpha^2 Y_t F_t = Y_t F_t (3\alpha^2 + \alpha^2 - 4\alpha^2) + 2F_t = 2F_t\)（\(Y_t\) 项完美抵消）。
因此，极其优雅地化简为了：
第三步：积分还原 对上式从 \(0\) 到 \(t\) 积分：
代入初始条件 \(Y_0 = x_0^2\) 且 \(F_0 = \exp(0) = 1\)，并移项得到 \(Y_t\)：
代入 \(F_t\) 和 \(F_s\) 的显式表达：
最后开平方根还原回 \(X_t\)（由于题目指定 \(X_0 > 0\) 且积分内部恒正，故取正根）：