第七章：期权定价与停时

在随机微分方程的金融应用中，Black-Scholes 期权定价模型是最为经典的里程碑。本章我们将利用 Itô 积分推导 Black-Scholes 偏微分方程，探讨停时（Stopping Time）的严格定义及其在 Itô 积分中的性质，最后引入扩散过程的生成元与 Feynman-Kac 公式，建立 SDE 与 PDE（偏微分方程）之间的深刻联系。

1. Black-Scholes 期权定价模型

我们考虑一个标准的欧式看涨期权（European Call Option），到期日为 \(T\)，执行价格为 \(K\)。在到期日，期权的收益（Payoff）为：

\[ V(S_T, T) = (S_T - K)^+ = \max(S_T - K, 0) \]

1.1 基本假设

在推导模型之前，我们基于 Black-Scholes 框架设定以下假设：

标的资产动态：股票价格 \(S_t\) 服从几何布朗运动：

\[ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t \]
市场环境：存在无风险利率 \(r\)（以连续复利计），且标的股票不分红（无股息）。
交易摩擦：不存在交易费用和税费，且可以无限分割和卖空。
无套利原则：市场中不存在无风险套利机会（No Arbitrage）。

1.2 Black-Scholes 偏微分方程的推导

基于无套利定价原理和自融资策略（Self-financing），我们可以构造一个无风险的投资组合，从而推导出期权价格 \(V(S_t, t)\) 必须满足的偏微分方程。

定理：Black-Scholes 偏微分方程 (BS PDE)

设期权价格 \(V(S,t)\) 是关于 \(S\) 和 \(t\) 足够光滑的函数，则 \(V\) 必定满足如下的抛物型偏微分方程：

\[ \partial_t V + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \partial_S^2 V + rS \partial_S V - rV = 0 \]

终端条件（对于看涨期权）：

\[ V(S,T) = (S - K)^+ \]

推导证明：Itô 引理与 Delta 对冲（微元法）（点击展开）

步骤 1：应用 Itô 引理

已知标的资产动态为 \(dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\)。对期权价格函数 \(V(S_t, t)\) 应用 Itô 引理：

\[ dV(S_t, t) = \partial_t V dt + \partial_S V dS_t + \frac{1}{2} \partial_S^2 V (dS_t)^2 \]

代入 \((dS_t)^2 = \sigma^2 S_t^2 dt\)，我们得到 \(V_t\) 的微分为：

\[ dV_t = \left( \partial_t V + \mu S_t \partial_S V + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \partial_S^2 V \right) dt + \sigma S_t \partial_S V dW_t \]

步骤 2：构造无风险投资组合 (Delta Hedging)

构造一个投资组合 \(\Pi_t\)，包含 1 份期权多头和 \(\Delta\) 份股票空头：

\[ \Pi_t = V_t - \Delta S_t \]

在微小时间 \(dt\) 内，该投资组合的价值变化（自融资微元法）为：

\[ d\Pi_t = dV_t - \Delta dS_t \]

将 \(dV_t\) 和 \(dS_t\) 展开并代入：

\[ d\Pi_t = \left( \partial_t V + \mu S_t \partial_S V + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \partial_S^2 V - \Delta \mu S_t \right) dt + (\sigma S_t \partial_S V - \Delta \sigma S_t) dW_t \]

步骤 3：消除随机项与无套利定价

为了让投资组合无风险（即消除 \(dW_t\) 项），我们选择股票持有量 \(\Delta\) 为：

\[ \Delta = \partial_S V \]

代入上式，随机项完全抵消，得到：

\[ d\Pi_t = \left( \partial_t V + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \partial_S^2 V \right) dt \]

根据无套利原则，一个无风险投资组合的收益率必须等于无风险利率 \(r\)。即 \(d\Pi_t = r \Pi_t dt\)：

\[ \left( \partial_t V + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \partial_S^2 V \right) dt = r (V_t - S_t \partial_S V) dt \]

化简并移项，即得 Black-Scholes 偏微分方程：

\[ \partial_t V + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \partial_S^2 V + rS \partial_S V - rV = 0 \]

推导完毕。 \(\square\)

2. Black-Scholes 偏微分方程的求解

对于 BS PDE，我们可以通过一系列变量代换，将其转化为经典的热传导方程（Heat Equation），从而利用高斯核求出解析解。

2.1 转化为热传导方程

求解过程：热传导方程转换与解析解推导（点击展开）

步骤 1：对数变换与时间反转

令 \(\tau = T - t\)（距离到期日的时间），且 \(x = \ln S \Rightarrow S = e^x\)。

设 \(v(x, \tau) = V(e^x, T - \tau)\)。根据链式法则求导并代入原 PDE，经过化简后方程变为常系数抛物型方程：

\[ \partial_\tau v - \frac{1}{2}\sigma^2 \partial_x^2 v - \left(r - \frac{1}{2}\sigma^2\right) \partial_x v + r v = 0 \]

终端条件变为了初始条件：\(v(x, 0) = (e^x - K)^+\)。

步骤 2：消除低阶导数项（变量代换法）

为了消去一阶空间导数项 \(\partial_x v\) 和常数项 \(rv\)，我们进行指数形式的变量代换，令：

\[ v(x, \tau) = u(x, \tau) e^{\alpha \tau + \beta x} \]

求偏导数并代入方程：

\[ \partial_\tau v = (\partial_\tau u + \alpha u) e^{\alpha \tau + \beta x} \]

\[ \partial_x v = (\partial_x u + \beta u) e^{\alpha \tau + \beta x} \]

\[ \partial_x^2 v = (\partial_x^2 u + 2\beta \partial_x u + \beta^2 u) e^{\alpha \tau + \beta x} \]

将其代入并整理，令 \(\partial_x u\) 和 \(u\) 的系数全为 0，我们可以解出特定的 \(\alpha\) 和 \(\beta\)：

\[ \begin{cases} \sigma^2 \beta + \left(r - \frac{1}{2}\sigma^2\right) = 0 \\ \alpha - \frac{1}{2}\sigma^2 \beta^2 - \left(r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)\beta + r = 0 \end{cases} \]

解得：

\[ \beta = -\frac{r}{\sigma^2} + \frac{1}{2}, \quad \alpha = -\frac{1}{2\sigma^2}\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)^2 - r \]

此时，原方程彻底化为了标准的热传导方程（扩散方程）：

\[ \partial_\tau u - \frac{1}{2}\sigma^2 \partial_x^2 u = 0 \]

步骤 3：利用 Green 函数（高斯核）求解

热传导方程的解可以通过积分其基本解（Kernel）与初始条件获得：

\[ u(x, \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} K(x-\xi, \tau) \psi(\xi) d\xi \]

其中核函数为：

\[ K(x-\xi, \tau) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \exp\left( -\frac{(x-\xi)^2}{2\sigma^2 \tau} \right) \]

2.2 利用 Gaussian 核进行解析推导

深度推导：如何从 Gaussian 核算到最终定价公式（点击展开）

步骤 1：利用 Green 函数写出通用解 热传导方程在全空间的解可以通过初始条件 \(\psi(\xi)\) 与 Gaussian 核 \(K\) 的卷积得到：

\[ u(x, \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \exp\left( -\frac{(x-\xi)^2}{2\sigma^2 \tau} \right) \psi(\xi) d\xi \]

步骤 2：代入期权初始条件 代入 \(\psi(\xi) = (e^\xi - K)^+ e^{-\beta \xi}\)。由于 \((e^\xi - K)^+\) 仅在 \(\xi > \ln K\) 时非零，积分区间缩短：

\[ u(x, \tau) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \int_{\ln K}^{\infty} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{2\sigma^2 \tau}} (e^\xi - K) e^{-\beta \xi} d\xi \]

步骤 3：拆分积分与配方 将积分拆分为 \(I_1\)（含 \(e^\xi\) 项）和 \(I_2\)（含 \(K\) 项）： 1. 对于 \(I_1\)，指数项合并为 \(-\frac{(\xi - [x + \sigma^2 \tau(1-\beta)])^2}{2\sigma^2 \tau} + \text{Const}\)。 2. 对于 \(I_2\)，指数项合并为 \(-\frac{(\xi - [x - \sigma^2 \tau \beta])^2}{2\sigma^2 \tau} + \text{Const}\)。

步骤 4：变量替换归一化 通过令 \(z = \frac{\xi - \text{中心}}{\sigma \sqrt{\tau}}\)，将积分转化为标准正态分布累积函数 \(N(d)\) 的形式。其中下界 \(\ln K\) 转换后的负值即为 \(d_1\) 和 \(d_2\)：

\[ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{\tau} \]

步骤 5：回到原变量 最后利用 \(V = u e^{-(\alpha \tau + \beta x)}\) 还原，指数项与积分外的常数项精准抵消，最终得到 Black-Scholes 公式。 \(\square\)

最终结论：Black-Scholes 定价公式

欧式看涨期权的解析解为：

\[ V(S,t) = S N(d_1) - K e^{-r(T-t)} N(d_2) \]

其中：

\[ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \]

\[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} \]

这里 \(N(\cdot)\) 是标准正态分布的累积分布函数。

3. 停时 (Stopping Times) 及其性质

在研究复杂的金融衍生品（如美式期权，允许提前行权）时，传统的固定时间 \(t\) 就不够用了，我们需要引入停时的概念。

3.1 停时的定义与基本性质

设 \((\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_t\}_{t \ge 0}, P)\) 带有给定的信息流（Filtration）。

定义：停时

随机变量 \(\tau: \Omega \to [0, +\infty]\) 被称为一个停时 (Stopping Time)，如果对于任意给定的时间 \(t \ge 0\)，事件 \(\{\tau \le t\}\) 都是 \(\mathcal{F}_t\) 可测的。

即：在时间 \(t\)，通过截止到 \(t\) 的信息 \(\mathcal{F}_t\)，我们一定能明确知道“是否已经停止” (\(\tau \le t\))。

停时的常见性质： 假设 \(\tau_1, \tau_2\) 都是停时，则：

等价条件：\(\{\tau < t\} \in \mathcal{F}_t\)。
极小值也是停时：\(\min\{\tau_1, \tau_2\} = \tau_1 \wedge \tau_2\)。
极大值也是停时：\(\max\{\tau_1, \tau_2\} = \tau_1 \vee \tau_2\)。

(例子：股票价格首次击穿某个屏障 \(H\) 的时间 \(\tau = \inf\{t > 0: S_t \ge H\}\) 就是一个典型的停时。)

3.2 带停时的 Itô 积分

我们可以将 Itô 积分的积分上限推广到停时 \(\tau\)：

\[ \int_0^\tau G_s dW_s \triangleq \int_0^t \chi_{\{s \le \tau\}} G_s dW_s \]

这里 \(\chi\) 是示性函数。带停时的 Itô 积分继承了标准的鞅性质和等距同构：

期望为零：

\[ E \left[ \int_0^\tau G_s dW_s \right] = 0 \]
Itô 等距：

\[ E \left[ \left( \int_0^\tau G_s dW_s \right)^2 \right] = E \left[ \int_0^\tau G_s^2 ds \right] \]

4. 椭圆型方程与随机表示 (Elliptic Equations & Probabilistic Representation)

在研究布朗运动时，偏微分方程（PDE）的解往往可以表示为某种随机泛函的期望。我们设定 \(X_t\) 为 \(n\) 维标准布朗运动（即漂移项 \(b=0\)，扩散项 \(B=I\)），此时其生成元为 \(L = \frac{1}{2}\Delta\)。

4.1 泊松方程 (Poisson Equation) 与退出时间

命题：退出时间的期望表示

考虑区域 \(\Omega\) 上的泊松方程边值问题：

\[ \begin{cases} -\frac{1}{2}\Delta u(x) = 1, & x \in \Omega \\ u(x) = 0, & x \in \partial \Omega \end{cases} \]

则该方程的解可以表示为布朗运动从 \(x\) 点出发首次离开区域 \(\Omega\) 的期望时间：

\[ u(x) = E^x[\tau_\Omega] \]

证明：利用 Dynkin 公式（点击展开）

步骤 1：应用 Dynkin 公式（Itô 公式的期望形式）

对于 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\)，根据 Itô 公式，有：

\[ u(X_{\tau \wedge t}) = u(X_0) + \int_0^{\tau \wedge t} \frac{1}{2}\Delta u(X_s) ds + \int_0^{\tau \wedge t} \nabla u(X_s) \cdot dW_s \]

对两边取从 \(x\) 点出发的期望 \(E^x\)。由于 Itô 积分项是鞅，其期望为 0：

\[ E^x[u(X_{\tau \wedge t})] = u(x) + E^x \left[ \int_0^{\tau \wedge t} \frac{1}{2}\Delta u(X_s) ds \right] \]

步骤 2：代入方程条件

已知 \(\frac{1}{2}\Delta u = -1\)。代入上式得：

\[ E^x[u(X_{\tau \wedge t})] = u(x) + E^x \left[ \int_0^{\tau \wedge t} (-1) ds \right] = u(x) - E^x[\tau \wedge t] \]

步骤 3：取极限 \(t \to \infty\)

根据边界条件，当布朗运动到达边界时 \(u(X_\tau) = 0\)。由控制收敛定理：

\[ 0 = u(x) - E^x[\tau_\Omega] \implies u(x) = E^x[\tau_\Omega] \]

推导完毕。 \(\square\)

4.2 调和函数 (Harmonic Functions) 的概率表示

命题：狄里克雷问题的概率解

考虑拉普拉斯方程（调和函数）的边值问题：

\[ \begin{cases} \Delta u(x) = 0, & x \in \Omega \\ u(x) = g(x), & x \in \partial \Omega \end{cases} \]

则解 \(u(x)\) 具有如下期望表示：

\[ u(x) = E^x[g(X_{\tau_\Omega})] \]

证明（点击展开）

步骤 1：利用调和性质

因为 \(\Delta u = 0\)，所以 \(L u = 0\)。根据 Itô 公式，过程 \(u(X_t)\) 在离开 \(\Omega\) 之前是一个局部鞅。

步骤 2：应用可选采样定理

对于停时 \(\tau_\Omega\)，我们有：

\[ u(x) = E^x[u(X_0)] = E^x[u(X_{\tau_\Omega})] \]

步骤 3：结合边界条件

当布朗运动到达边界时，\(X_{\tau_\Omega} \in \partial \Omega\)，此时 \(u(X_{\tau_\Omega}) = g(X_{\tau_\Omega})\)。代入得：

\[ u(x) = E^x[g(X_{\tau_\Omega})] \]

这说明调和函数在一点的值等于其在边界上值的随机平均。 \(\square\)

4.3 边值不连续的狄里克雷问题

笔记中提到了将边界划分为两部分 \(\Gamma_1\) 和 \(\Gamma_2\) 的情况。

命题：特征函数与击中概率

考虑如下边值问题：

\[ \begin{cases} \Delta u = 0, & x \in \Omega \\ u = 1, & x \in \Gamma_1 \\ u = 0, & x \in \Gamma_2 \end{cases} \]

其中 \(\partial \Omega = \Gamma_1 \cup \Gamma_2\)。

证明：概率表示的直观理解（点击展开）

根据 4.2 的结论，解可以写为边界值的期望。令边界函数 \(g(x) = I_{\Gamma_1}(x)\)，即在 \(\Gamma_1\) 上为 1，其余为 0。则：

\[ u(x) = E^x[I_{\Gamma_1}(X_{\tau_\Omega})] = P^x(X_{\tau_\Omega} \in \Gamma_1) \]

物理意义：在该点处的解 \(u(x)\) 等于布朗运动从该点出发，首次穿过边界时落在 \(\Gamma_1\) 区域的概率。 \(\square\)

5. Feynman-Kac 公式 (Feynman-Kac Formula)

Feynman-Kac 公式建立了带有“势能项”或“折扣项”的偏微分方程与随机过程指数泛函之间的联系。

定理：Feynman-Kac 公式

考虑如下二阶偏微分方程的边值问题：

\[ \begin{cases} -\frac{1}{2}\Delta u(x) + q(x)u(x) = f(x), & x \in \Omega \\ u(x) = 0, & x \in \partial \Omega \end{cases} \]

其中 \(q(x) \ge 0\)。则解 \(u(x)\) 的随机表示为：

\[ u(x) = E^x \left[ \int_0^{\tau_\Omega} f(X_t) \exp\left( -\int_0^t q(X_s) ds \right) dt \right] \]

证明：利用辅助过程的 Itô 展开（点击展开）

步骤 1：构造辅助过程

定义过程 \(M_t\) 如下：

\[ M_t = u(X_t) \exp\left( -\int_0^t q(X_s) ds \right) + \int_0^t f(X_s) \exp\left( -\int_0^s q(X_r) dr \right) ds \]

步骤 2：应用 Itô 公式求导

令 \(e_t = \exp\left( -\int_0^t q(X_s) ds \right)\)。利用乘积法则：

\[ d(u(X_t) e_t) = e_t du(X_t) + u(X_t) de_t \]

其中：

\[ du(X_t) = \nabla u \cdot dW_t + \frac{1}{2}\Delta u dt \]

\[ de_t = -q(X_t) e_t dt \]

代入得：

\[ d(u(X_t) e_t) = e_t \left( \frac{1}{2}\Delta u - q(X_t)u(X_t) \right) dt + e_t \nabla u \cdot dW_t \]

步骤 3：结合 PDE 条件

由于 \(-\frac{1}{2}\Delta u + qu = f \implies \frac{1}{2}\Delta u - qu = -f\)。代入 \(dM_t\)：

\[ dM_t = d(u(X_t) e_t) + f(X_t)e_t dt = \left[ e_t(-f) + e_t f \right] dt + e_t \nabla u \cdot dW_t \]

因此，\(dM_t = e_t \nabla u \cdot dW_t\)，说明 \(M_t\) 是一个局部鞅。

步骤 4：取期望与边界条件

由可选采样定理，\(u(x) = M_0 = E^x[M_{\tau_\Omega}]\)。

当 \(t = \tau_\Omega\) 时，\(u(X_{\tau_\Omega}) = 0\)，因此第一项消失，剩下：

\[ u(x) = E^x \left[ \int_0^{\tau_\Omega} f(X_s) \exp\left( -\int_0^s q(X_r) dr \right) ds \right] \]

证明完毕。 \(\square\)