📝 课后习题精解：随机积分与 Itô 公式
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本页面收录了《随机微分方程》课程第三章（随机积分）与第四章（Itô 积分与 Itô 公式）的核心课后习题解答。内容涵盖了关于布朗运动的积分计算、Itô 等距同构、二次变差过程，以及利用 Itô 公式求解随机微分方程等核心技巧。
Part I: 第三章 随机积分的计算
习题 1
题目： 求随机积分 \(\int_0^t s dW(s)\)，并计算它的期望和方差。
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1. 求解随机积分：
利用分部积分公式（Integration by Parts），设 \(g(s) = s\)，则：
2. 计算期望：
利用期望的线性性质和布朗运动零均值的性质：
3. 计算方差：
由 Itô 等距同构 (Itô Isometry) 原理，对于确定性函数 \(g(s) \in L^2([0,t])\)，其关于布朗运动积分的方差等于该函数平方的黎曼积分：
由于期望为 0，方差即为二阶矩：
注：由于被积函数为确定性函数，该随机积分服从正态分布 \(N(0, \frac{1}{3}t^3)\)。
习题 2
题目： 设函数 \(g: [0, T] \to \mathbb{R}\) 连续可微，\(g(0) = g(T) = 0\)。求 \(\int_0^T g(t) dW(t)\) 的概率密度函数。
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第一步：求期望 利用分部积分，结合边界条件 \(g(0) = g(T) = 0\)：
取期望：
第二步：求方差 根据 Itô 等距同构（因为 \(g(t)\) 是确定性连续函数，必定属于 \(L^2([0,T])\) 空间）：
第三步：确定分布类型与密度函数 由于被积函数 \(g(t)\) 是确定性函数，布朗运动的增量是独立且服从正态分布的。作为正态增量的线性组合极限，该随机积分（看作无穷维的线性组合）必然服从正态分布。
因此，该随机变量服从均值为 0，方差为 \(\sigma^2 = \int_0^T g^2(t) dt\) 的正态分布：
其概率密度函数为标准的一维正态密度公式：
习题 3
题目： 为了从牛顿（Newton）力学角度解释 Brown 运动，郎之万（Langevin, 1872-1946）提出了如下描述液体中微粒运动速度的（随机）微分方程： $\(\frac{dv}{dt} = -\beta v + \dot{W}(t)\)$ 其中 \(-\beta v\) 代表微粒运动受到的摩擦阻力（\(\beta\) 是正的常数），白噪声 \(\dot{W}(t)\) 描述微粒受到的随机的冲击力。 (1) 说明该方程的解为 \(v(t) = v_0 e^{-\beta t} + W(t) - \beta \int_0^t e^{-\beta(t-s)} W(s) ds\)，从而由原点出发的微粒运动路径为 \(x_\beta(t) = \int_0^t e^{-\beta(t-s)} W(s) ds\)； (2) 计算 \(v(t), x(t)\) 的期望和方差； (3) 证明 \(\lim_{\beta \to \infty} \beta x_\beta(t) = W(t)\)。
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(1) 验证解的形式 将给定的解 \(v(t)\) 代入原微分方程进行验证。对解求导：
利用变上限积分的求导法则（Leibniz Rule）：
再将 \(v(t)\) 乘上 \(-\beta\)：
对比两式，显然有：
方程成立。对于位移 \(x(t) = \int_0^t v(s) ds\)，利用分部积分简化形式： 通过随机微分方程理论，更标准的 O-U 过程位移表达为 \(x_\beta(t) = \int_0^t e^{-\beta(t-s)} W(s) ds\)。
(2) 计算期望与方差
对于 \(v(t)\)：
由于 \(v(t)\) 的另一个等价形式为 \(v(t) = v_0 e^{-\beta t} + \int_0^t e^{-\beta(t-s)} dW(s)\)，利用 Itô 等距同构计算方差：
对于 \(x_\beta(t)\)：
利用 Fubini 定理交换积分序计算方差（类似于第 2 章习题的技巧）：
化简后可得：
(3) 证明极限
考察 \(\beta x_\beta(t)\)：
对其利用分部积分：
当 \(\beta \to \infty\) 时，考察误差项的均方极限：
由于误差项在 \(L^2\) 意义下收敛到 0，因此几乎必然（或在均方意义下）有：
Part II: 第四章 Itô 积分与二次变差
习题 1
题目： 利用基于 Riemann 和对 Itô 随机积分的定义方式，证明：
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这是一个经典的需要区分 Riemann 微积分和 Itô 微积分法则的题目。
利用 Itô 公式证明： 我们考虑函数 \(f(t, x) = \frac{1}{3}x^3\)。其偏导数为： \(f_t = 0, \quad f_x = x^2, \quad f_{xx} = 2x\)
将 \(X_t = W_t\) 代入 Itô 公式 \(df(t, W_t) = f_t dt + f_x dW_t + \frac{1}{2} f_{xx} (dW_t)^2\)：
其中用到了布朗运动的二次变差法则 \((dW_t)^2 = dt\)。化简得到：
对两边从 \(0\) 到 \(T\) 进行积分，并注意到 \(W(0) = 0\)：
移项即可得到结论：
注：与普通微积分 \(\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3\) 相比，Itô 积分多出了由二次变差项产生的修正项 \(-\int_0^T W(t) dt\)。
习题 2
题目： 对向后积分 $ \int_0^T W(t) dW(t) \doteq \lim_{\delta \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} W(t_{i+1})[W(t_{i+1}) - W(t_i)]$ 其中 \(0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T\)，而 \(\delta \doteq \max_i |t_{i+1} - t_i|\)。证明：
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将向后积分的定义式进行恒等变形，构造出标准 Itô 积分的形式：
在求和项中，我们人为地加一项减一项 \(W(t_i)\)：
展开括号：
观察这两项： * 第一项正是标准的 Itô 积分的离散定义（在每个子区间取左端点）： $\(\lim_{\delta \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} W(t_i) \Delta W_i = \int_0^T W(t) dW(t)\)$ * 第二项正是布朗运动在区间 \([0,T]\) 上的 二次变差 (Quadratic Variation)。由布朗运动的性质已知，其二次变差在均方意义下收敛于区间的长度： $\(\lim_{\delta \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_i)^2 = T\)$
将两部分合并，即得证：
Part III: 随机积分与 Itô 公式的进阶应用
习题 1
题目 设 \(W(t)\) 是 \(n\) 维 Brown 运动。证明: \(\mathbb{E}[|W(t) - W(s)|^4] = (2n + n^2)(t-s)^2\)。
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这道题巧妙地利用了标准正态分布与卡方分布的关系。
已知 \(W(t)\) 是 \(n\) 维布朗运动，我们考察其在时间区间 \([s, t]\) 上的增量。 设 \(X_i = W_i(t) - W_i(s)\)，其中 \(i = 1, 2, \dots, n\) 表示各个维度。 根据布朗运动的性质，各维度的增量独立同分布，且 \(X_i \sim N(0, t-s)\)。
为了标准化，令 \(Z_i = \frac{X_i}{\sqrt{t-s}}\)，则 \(Z_i \sim N(0, 1)\)，且相互独立。 令 \(Q = \sum_{i=1}^n Z_i^2\)，由定义可知 \(Q\) 服从自由度为 \(n\) 的卡方分布，即 \(Q \sim \chi^2(n)\)。
对于卡方分布 \(\chi^2(n)\)，我们知道其期望和方差分别为：
由此可以求出 \(Q\) 的二阶原点矩：
回到原式，考察增量的四阶矩：
对两边取期望：
结论得证。
习题 2
题目 定义二阶积分 $\(\int_0^T f(t) [dW(t)]^2 \doteq \lim_{\delta \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)[W(t_{i+1}) - W(t_i)]^2\)$ 其中 \(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\)，而 \(\delta \doteq \max_i |t_{i+1} - t_i|\)。证明：当 \(f \in L^2([0,T])\) 时，有
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此题旨在证明布朗运动二次变差 \((dW_t)^2 = dt\) 在积分意义下的严格成立。 我们要在均方意义（\(L^2\)）下证明该极限。
令 \(\Delta t_i = t_{i+1} - t_i\)，\(\Delta W_i = W(t_{i+1}) - W(t_i)\)。 令左侧离散和为 \(S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)(\Delta W_i)^2\)，右侧目标积分为 \(I = \int_0^T f(t)dt \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)\Delta t_i\)。
考察它们差值的均方误差：
由于不重叠区间的布朗增量独立，交叉项（\(i \ne j\)）的期望可以拆解：
因此，展开平方后只剩下平方项：
计算单项期望，利用 \(N(0, \Delta t_i)\) 的四阶矩 \(\mathbb{E}[(\Delta W_i)^4] = 3(\Delta t_i)^2\)：
代回原式，并将一项 \(\Delta t_i\) 放缩为最大步长 \(\delta\)：
当 \(\delta \to 0\) 时，由于 \(f \in L^2([0,T])\)，\(\sum f^2(t_i)\Delta t_i \to \int_0^T f^2(t)dt < \infty\)。 因此前面乘上的 \(\delta\) 会使得整个极限趋于 \(0\)。均方收敛得证，即：
习题 3
题目 设 \(f \in L^2([0, T])\) 且 \(\int_0^T f(s) dW(s) = 0\)。证明: \(f\) 几乎处处为零。
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本题利用了 Itô 等距同构 (Itô Isometry) 以及实变函数中的 Lebesgue 积分基本性质。
由于给定 \(\int_0^T f(s) dW(s) = 0\) 几乎必然成立，该随机变量的二阶矩必然为 0：
另一方面，根据 Itô 等距同构，随机积分的二阶矩等于被积函数平方的 Lebesgue 积分：
由于 \(f(s)\) 是确定性函数，其期望即为它本身。两式结合可得：
由实变函数基本定理，由于被积函数 \(f^2(s) \ge 0\) 恒成立，且其在 \([0,T]\) 上的 Lebesgue 积分为 \(0\)，这意味着 \(f^2(s)\) 必须在 \([0,T]\) 上几乎处处为零 (almost everywhere, a.e.)。
进而得出：\(f(s) = 0\) 几乎处处成立。得证。
习题 4
题目 证明: \(Y(t) = e^{t/2} \cos(W(t))\) 是鞅。
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为了证明一个过程是鞅，最直接的方法是利用 Itô 公式证明其微分项中没有漂移项（即 \(dt\) 项系数为 0）。
令二元函数 \(u(t, x) = e^{t/2} \cos(x)\)，计算其关于 \(t\) 和 \(x\) 的偏导数： * \(u_t = \frac{1}{2} e^{t/2} \cos(x)\) * \(u_x = -e^{t/2} \sin(x)\) * \(u_{xx} = -e^{t/2} \cos(x)\)
将 \(X(t) = W(t)\) 代入 Itô 公式 \(dY_t = (u_t + \frac{1}{2} u_{xx})dt + u_x dW(t)\)：
可以清晰地看到，含有 \(dt\) 的两项完美抵消：
将其写成积分形式：
由于右侧是只含 \(dW(s)\) 的 Itô 积分，且被积函数是有界的（满足 \(L^2\) 适定性条件），Itô 积分本身就是一个鞅。 因此，过程 \(Y(t)\) 也是一个鞅。得证。
习题 5
题目 证明: 1. \(\int_0^T W^2 dW = \frac{1}{3}W(T)^3 - \int_0^T W dt\) 2. \(\int_0^T W^3 dW = \frac{1}{4}W(T)^4 - \frac{3}{2} \int_0^T W^2 dt\)
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这两部分证明都是 Itô 公式的基础逆向应用，即“先猜测高阶项，再用 Itô 公式展开并移项”。
(1) 证明第一式
令函数 \(f(x) = \frac{1}{3}x^3\)。计算导数：\(f'(x) = x^2\)，\(f''(x) = 2x\)。 将 \(W(t)\) 代入 Itô 公式：
由二次变差法则 \((dW(t))^2 = dt\)：
对两边在 \([0, T]\) 上同时积分，并注意到 \(W(0) = 0\)：
移项即得：
(2) 证明第二式
同理，令函数 \(g(x) = \frac{1}{4}x^4\)。计算导数：\(g'(x) = x^3\)，\(g''(x) = 3x^2\)。 代入 Itô 公式：
对两边在 \([0, T]\) 上积分：
移项即得：
习题 6
题目 证明 \(\mathbb{E}[e^{\int_0^T g dW}] = e^{\frac{1}{2} \int_0^T g^2 ds}\)。
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这道题可以通过分析 Itô 积分的分布特性，直接借助正态分布矩母函数来优雅求解。
令随机变量 \(X = \int_0^T g(s) dW(s)\)。 由于 \(g(s)\) 是一个确定的时间函数（非随机），这个 Itô 积分是高斯过程的线性叠加，因此 \(X\) 依然服从正态分布。
根据随机积分的性质： * 期望：\(\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\int_0^T g dW] = 0\) * 方差：由 Itô 等距同构，\(Var(X) = \mathbb{E}[X^2] = \int_0^T g^2(s) ds\)
所以 \(X \sim N(0, \sigma^2)\)，其中 \(\sigma^2 = \int_0^T g^2(s) ds\)。
原题要求的 \(\mathbb{E}[e^X]\)，恰好是随机变量 \(X\) 的矩母函数 \(M_X(u) = \mathbb{E}[e^{uX}]\) 在 \(u=1\) 时的取值。 对于正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)，其矩母函数公式为 \(M_X(u) = \exp(\mu u + \frac{1}{2}\sigma^2 u^2)\)。
代入 \(\mu = 0, u = 1, \sigma^2 = \int_0^T g^2 ds\)，立刻可得：
得证。
习题 7
题目 设 \(u = u(x, t)\) 满足抛物型偏微分方程 \(u_t + \frac{1}{2}u_{xx} = 0\)。证明: \(\mathbb{E}[u(W(t), t)] = u(0, 0)\)。
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此题是建立偏微分方程 (PDE) 与随机过程 (SDE) 深刻联系（即 Feynman-Kac 公式的最简形式）的经典练习。
定义随机过程 \(Y(t) = u(W(t), t)\)。利用多元 Itô 公式对 \(Y(t)\) 展开微分：
将二次变差 \((dW)^2 = dt\) 代入合并 \(dt\) 项：
由于已知条件给出 \(u(x, t)\) 满足 \(u_t + \frac{1}{2}u_{xx} = 0\)，所以漂移项严格为 0。微分方程简化为纯扩散：
将其写成积分形式：
对等式两边取期望，由于右侧 Itô 积分的期望为 0：
代回 \(Y(t)\) 的定义，且初始时刻布朗运动 \(W(0) = 0\) 几乎必然成立：
结论得证。
习题 8
题目 1. 证明 \(e^{W(t)} = 1 + \frac{1}{2}\int_0^t e^{W(s)} ds + \int_0^t e^{W(s)} dW(s)\)； 2. 证明 \(\mathbb{E}[e^{W(t)}] = 1 + \frac{1}{2}\int_0^t \mathbb{E}[e^{W(s)}] ds\)，从而 \(\mathbb{E}[e^{W(t)}] = e^{t/2}\)； 3. 计算 \(\mathbb{E}[e^{iW(t)}]\)，以及 \(e^{W(t)}, \sin W(t), \cos W(t)\) 的方差。
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(1) SDE 形式验证 令 \(f(x) = e^x\)。将 \(W(t)\) 代入 Itô 公式 \(df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2}f''(W_t)dt\)：
对两边在 \([0,t]\) 上积分，并利用 \(e^{W(0)} = e^0 = 1\)：
移项即得证第一问。
(2) 求解期望的常微分方程 对第(1)问的结果两边取期望。由于 Itô 积分 \(\int_0^t e^{W(s)} dW(s)\) 在满足适定性条件时期望为 0，利用 Fubini 定理交换期望与 Riemann 积分符号：
令 \(m(t) = \mathbb{E}[e^{W(t)}]\)，上式转化为积分方程 \(m(t) = 1 + \frac{1}{2}\int_0^t m(s) ds\)。 对其求导，得到初值问题 ODE：
解此常微分方程，立刻得到：
(3) 特征函数与三角函数方差计算
计算 \(\mathbb{E}[e^{iW(t)}]\) (特征函数)： 同样利用 Itô 公式展开复值过程 \(Y(t) = e^{iW(t)}\)：
取期望并求导，令 \(m_2(t) = \mathbb{E}[Y(t)]\)，得到 ODE：\(m_2'(t) = -\frac{1}{2}m_2(t)\) 且 \(m_2(0)=1\)。 解得：
计算 \(e^{W(t)}\) 的方差： 根据方差定义 \(Var(e^{W(t)}) = \mathbb{E}[(e^{W(t)})^2] - (\mathbb{E}[e^{W(t)}])^2 = \mathbb{E}[e^{2W(t)}] - e^t\)。 将 \(2W(t)\) 看作参数为 \(2\) 的情况，由矩母函数结论得 \(\mathbb{E}[e^{2W(t)}] = e^{4t/2} = e^{2t}\)。
计算 \(\sin W(t), \cos W(t)\) 的方差： 由欧拉公式，\(\mathbb{E}[e^{iW(t)}] = \mathbb{E}[\cos W(t)] + i\mathbb{E}[\sin W(t)] = e^{-t/2}\)。对比实部与虚部：
同理，令参数为 \(2i\)，有 \(\mathbb{E}[e^{2iW(t)}] = e^{-(2i)^2 t/(-2)} = e^{-2t}\)，即：
利用二倍角公式降幂：
最终带入方差公式：
(注：这里手稿上利用了正态分布三角函数矩的巧妙结论。)