🌊 Stochastic Processes

本模块聚焦随机过程的相关内容。

一、条件期望的代数性质 (Conditional Expectation)

核心运算性质

条件期望 \(E[X \mid \mathcal{F}]\) 本身是一个关于 \(\mathcal{F}\) 可测的随机变量。

提出已知性 (Pulling out knowns)：若 \(Y\) 是 \(\mathcal{F}\) 可测的，则 \(E[XY \mid \mathcal{F}] = Y E[X \mid \mathcal{F}]\)。
塔牌性质 (Tower Property)：若 \(\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2\)，则 \(E[E[X \mid \mathcal{F}_2] \mid \mathcal{F}_1] = E[X \mid \mathcal{F}_1]\)。
Jensen 不等式：对于凸函数 \(\phi\)，有 \(\phi(E[X \mid \mathcal{F}]) \le E[\phi(X) \mid \mathcal{F}]\)。该不等式常用于证明凸函数的鞅为下鞅。

鞅的定义 (Martingale)

适应于信息流 \(\mathcal{F}_n\) 的可积序列 \(X_n\)，满足：

\[ E[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n \]

（若为 \(\ge\) 则为下鞅 Submartingale，若为 \(\le\) 则为上鞅 Supermartingale）。

停时 (Stopping Time)

一个取值为 \(\mathbb{N} \cup \{\infty\}\) 的随机变量 \(T\)，若对任意 \(n\)，事件 \(\{T \le n\}\) 完全由 \(\mathcal{F}_n\) 决定（即发生与否仅依赖于当下的信息），则称 \(T\) 为停时。

可选停时定理 (Optional Stopping Theorem)

在一定条件下，鞅在停时 \(T\) 处的期望等于其初始期望：\(E[X_T] = E[X_0]\)。满足以下任一条件即可成立：

Doob 极大值不等式 (Doob's Maximal Inequality)

对于非负下鞅 \(X_n\)（或鞅的绝对值），其历史最大值的尾概率受末尾期望控制：

\[ \lambda P(\max_{1\le k\le n} X_k \ge \lambda) \le E[X_n I(\max_{1\le k\le n} X_k \ge \lambda)] \le E[X_n] \]

Doob 鞅收敛定理 (Doob's Convergence Theorem)

若 \(X_n\) 为下鞅，且其正部期望一致有界（即 \(\sup_n E[X_n^+] < \infty\)），则存在一个可积的随机变量 \(X\)，使得：

\[ X_n \xrightarrow{a.s.} X \]

注意：仅保证几乎处处收敛，不保证 \(L^1\) 收敛。若需 \(E[X_n] \to E[X]\)，必须外加一致可积性 (Uniform Integrability) 条件。

Doob-Meyer 分解定理

任何一个下鞅 \(X_n\) 都可以被唯一分解为一个鞅 \(M_n\) 和一个非减的可预测序列 (Predictable sequence) \(A_n\) 的和：

\[ X_n = M_n + A_n \]

其中 \(A_n\) 可预测意味着 \(A_n\) 在 \(n-1\) 时刻就已经完全已知（即 \(\mathcal{F}_{n-1}\) 可测）。