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📝 课后习题精解：期权定价与停时

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本页面收录了《随机微分方程》课程中关于停时理论、高维布朗运动击中概率以及欧式期权定价（Black-Scholes 模型）的核心课后习题解答。内容涵盖了停时的严格证明、利用鞅的性质导出 Dirichlet 边值问题，以及利用热传导方程基本解（高斯核）推导看跌期权公式的完整过程。

Part I: 停时与击中概率

习题 1

题目 设 \(W\) 为一维 Brown 运动，定义 \(\tau = \inf\{t: W(t) \in (a, b]\}\) 为首次触碰区间 \((a, b]\) 的时间。证明 \(\tau\) 是一个停时。

解答 (点击展开)

为了严谨证明 \(\tau\) 是一个停时，我们根据区间 \((a, b]\) 的性质，将其拆分为两个首次击中时间来分别讨论。

定义两个辅助变量：

\[ \tau_a = \inf\{t: W(t) > a\} \]
\[ \tau_b = \inf\{t: W(t) \le b\} \]

第一步：证明 \(\tau_a\) 和 \(\tau_b\) 的可测性

对于 \(\tau_b\)（首次进入闭集 \((-\infty, b]\)）：由于布朗运动路径连续，闭集的首次击中时间满足：

\[ \{\tau_b \le t\} = \inf_{0 \le s \le t} W(s) \le b \]

利用有理数的稠密性，这等价于在有理数集 \(\mathbb{Q}\) 上取下确界：

\[ \{\tau_b \le t\} = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{s \in \mathbb{Q} \cap [0, t]} \left\{ W_s \le b + \frac{1}{n} \right\} \]

因为右侧是 \(\mathcal{F}_t\) 可测事件的可数交并，故 \(\tau_b\) 是停时。

对于 \(\tau_a\)（首次进入开集 \((a, +\infty)\)）：同理，利用开集的性质和有理数逼近：

\[ \{\tau_a < t\} = \bigcup_{s \in \mathbb{Q} \cap [0, t)} \{ W_s > a \} \in \mathcal{F}_t \]

结合信息流的右连续性，\(\tau_a\) 也是一个停时。

第二步：组合逻辑证明 \(\tau\) 是停时

现在我们考察目标停时 \(\tau = \inf\{t: W(t) \in (a, b]\}\)。根据初始状态 \(W(0)\) 的不同，我们可以将 \(\{\tau \le t\}\) 拆解：

  1. 若 \(W(0) \le a\)：必须先向上穿过 \(a\) 才能进入 \((a, b]\)，此时事件等价于：\(\{W(0) \le a\} \cap \{\tau_a \le t, \inf_{\tau_a \le s \le t} W(s) \le b\}\)

  2. 若 \(W(0) > b\)：必须先向下穿过 \(b\) 才能进入 \((a, b]\)，此时事件等价于：\(\{W(0) > b\} \cap \{\tau_b \le t\}\)

  3. 若 \(W(0) \in (a, b]\)：此时 \(\tau = 0 \le t\) 必然成立，事件等价于 \(\{W(0) \in (a, b]\}\)。

将上述三种互斥且完备的情况取并集，得到：

\[ \{\tau \le t\} = \left( \{W(0) \le a\} \cap \{\tau_a \le t, \inf_{\tau_a \le s \le t} W_s \le b\} \right) \cup \left( \{W(0) > b\} \cap \{\tau_b \le t\} \right) \cup \{W(0) \in (a, b]\} \]

由于上述表达式中涉及的所有的基本事件（包括初始状态集合、\(\tau_a\) 和 \(\tau_b\) 的水平穿越事件）均是 \(\mathcal{F}_t\) 可测的，且 \(\sigma\) 域对有限并集、交集封闭，因此整体事件 \(\{\tau \le t\} \in \mathcal{F}_t\)。

故 \(\tau\) 满足停时的严格定义。得证。

习题 2

题目 设 \(W\) 为 \(n\) 维 Brown 运动 (\(n \ge 3\))。记 \(X = W + x_0\)，其中 \(x_0\) 落在球壳 \(R_1 < |x| < R_2\) 内。计算 \(X\) 在碰到内球面 \(|x| = R_1\) 之前碰到外球面 \(|x| = R_2\) 的概率。

解答 (点击展开)

第一步：利用 Itô 公式与鞅的性质导出 Dirichlet 边值问题

设 \(\tau\) 为过程 \(X\) 首次离开球壳区域 \(D = \{x: R_1 < |x| < R_2\}\) 的退出时间。令 \(u(x)\) 为从初始点 \(x\) 出发，先击中外球面的概率，即 \(u(x) = P^x(|X_\tau| = R_2)\)。

我们构造一个随机过程 \(M_t = u(X_{t \wedge \tau})\)。对 \(u(X_t)\) 应用多维 Itô 公式展开：

\[ u(X_{t \wedge \tau}) = u(X_0) + \int_0^{t \wedge \tau} \nabla u(X_s) dW_s + \int_0^{t \wedge \tau} \frac{1}{2} \Delta u(X_s) ds \]

为了使期望概率在停时前保持守恒，过程 \(M_t = u(X_{t \wedge \tau})\) 必须是一个鞅 (Martingale)。

鞅的核心性质要求其微分的漂移项（\(ds\) 项）期望恒为 0。因此，被积函数必须满足：

\[ \frac{1}{2} \Delta u(x) = 0 \implies \Delta u(x) = 0 \quad (x \in D) \]

对于边界条件：当过程击中外球面时，事件必然发生，概率为 1；击中内球面时，事件未发生，概率为 0。这就严谨地将概率问题转化为了如下的 Dirichlet 边值问题：

\[ \begin{cases} \Delta u(x) = 0, & R_1 < |x| < R_2 \\ u(x) = 0, & |x| = R_1 \\ u(x) = 1, & |x| = R_2 \end{cases} \]

第二步：求解偏微分方程

由于区域是对称的，假设解具有径向形式 \(u(x) = v(r)\)，其中 \(r = |x|\)。在 \(n \ge 3\) 时，Laplace 算子的基本解形式为：

\[ v(r) = A + B r^{2-n} \]

代入边界条件： 当 \(r = R_1\) 时：

\[ A + B R_1^{2-n} = 0 \implies A = -B R_1^{2-n} \]

当 \(r = R_2\) 时：

\[ A + B R_2^{2-n} = 1 \]

将第一式代入第二式，解得常数 \(B\) 和 \(A\)：

\[ B = \frac{1}{R_2^{2-n} - R_1^{2-n}}, \quad A = -\frac{R_1^{2-n}}{R_2^{2-n} - R_1^{2-n}} \]

代回原函数并化简，得到最终的击中概率：

\[ u(x) = \frac{|x|^{2-n} - R_1^{2-n}}{R_2^{2-n} - R_1^{2-n}} \]


Part II: 欧式期权定价实战

习题 3

题目 推导欧式看跌期权 (European Put Option) 的 Black-Scholes 公式。

解答 (点击展开)

1. 建立 Black-Scholes 偏微分方程 (PDE) 设欧式看跌期权价格为 \(P(S, t)\)。基于无套利原理和几何布朗运动的假设，看跌期权同样满足 BS PDE：

\[ \frac{\partial P}{\partial t} + rS \frac{\partial P}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 P}{\partial S^2} - rP = 0 \]

终端条件为：\(P(S, T) = \max(K - S, 0) = (K - S)^+\)。

2. 变量代换与方程简化 令 \(x = \ln S\) (即 \(S = e^x\))，并反转时间 \(\tau = T - t\)。设 \(V(x, \tau) = P(e^x, T - \tau)\)。代入方程后，为了消去一阶偏导和常数项，再作代换 \(V(x, \tau) = u(x, \tau) e^{\alpha \tau + \beta x}\)，解得系数：

\[ \beta = \frac{1}{2} - \frac{r}{\sigma^2}, \quad \alpha = -r - \frac{1}{2\sigma^2}\left(r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)^2 \]

此时方程化为标准的热传导方程：

\[ \frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

3. 利用高斯核 (Gaussian Kernel) 积分求解 转化后的初始条件为 \(u(y, 0) = e^{-\beta y} \max(K - e^y, 0)\)。热传导方程的解可以利用高斯核的卷积给出：

\[ u(x, \tau) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \int_{-\infty}^{\ln K} \exp\left(-\frac{(x-y)^2}{2\sigma^2 \tau}\right) e^{-\beta y} (K - e^y) dy \]

(注意积分上限为 \(\ln K\)，因为当 \(e^y > K\) 时收益为 0)

我们将积分拆分为 \(I_1\) (含 \(K\)) 和 \(I_2\) (含 \(e^y\)) 两项。对指数部分进行“配方法 (Completing the square)”，并通过变量替换 \(z = \frac{y - \mu}{\sigma}\) 将其化为标准正态分布累积函数 \(N(\cdot)\)。

4. 还原得到最终定价公式 最后利用 \(P(S, t) = e^{\alpha \tau + \beta x} u(x, \tau)\) 还原变量，指数项完美相消，得到看跌期权的 Black-Scholes 公式：

\[ P(S, t) = K e^{-r(T-t)} N(-d_2) - S N(-d_1) \]

其中：

\[ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \]
\[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} \]

推导完毕。

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