第三章：准紧集、紧集及其拓扑性质

在实数域 \(\mathbb{R}^n\) 中，完备性有一个非常直观的等价命题（Bolzano-Weierstrass 定理）：有界无限集至少有一个聚点。然而，在一般的距离空间（哪怕是完备的距离空间）中，这一性质未必成立。这说明一般距离空间的拓扑结构远比有限维欧氏空间复杂。

为了在抽象空间中恢复类似于“有界闭区间”的优良性质，我们引入了泛函分析中极其核心的概念——紧性 (Compactness)。

1. 准紧集与紧集的基本概念

首先，我们需要明确一般距离空间中有界性的定义。

定义 3.1 (有界集)

距离空间 \(X\) 的子集 \(A\) 称为有界集 (Bounded Set)，如果 \(A\) 包含在 \(X\) 中的某个开球或闭球内。

(注：距离空间中的任何收敛点列及任何基本点列都是有界的。)

定义 3.2 (准紧集与紧集)

设 \(A\) 为距离空间 \(X\) 的子集。

准紧集 (Pre-compact Set)：如果 \(A\) 中的每个点列都含有子列收敛于 \(X\) 中的某一点，则称 \(A\) 为准紧集。
紧集 (Compact Set)：如果 \(A\) 中的每个点列都含有子列收敛于 \(A\) 中的某一点，则称 \(A\) 为紧集。

如果空间 \(X\) 自身是紧集，则称 \(X\) 是紧距离空间。

紧集的基本性质：

任何有限集都是紧集；
任何准紧集的子集都是准紧集；
任何紧集的闭子集都是紧集。

反例：有界闭集未必是准紧集

在无限维空间中，有界集不一定有收敛子列。考察空间 \(L^2[-\pi, \pi]\)，定义函数序列：

\[ e_k(t) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(kt), \quad k = 1, 2, \dots \]

该序列是有界的（每个元素的范数为 1）。但计算任意两个不同元素间的距离平方：

\[ \rho(e_j, e_k)^2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin(jt) - \sin(kt)|^2 dt \]

展开并利用三角函数的正交性：

\[ = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\sin^2(jt) - 2\sin(jt)\sin(kt) + \sin^2(kt)) dt = 1 - 0 + 1 = 2 \]

因此，当 \(j \ne k\) 时，\(\rho(e_j, e_k) = \sqrt{2}\)。这表明序列中任意两点的距离均为 \(\sqrt{2}\)，根本不可能存在 Cauchy 子列，自然也不可能存在收敛子列。因此，该有界序列不是准紧集。

2. \(\epsilon\)-网与全有界集

为了更精细地刻画准紧性，我们引入“网”的概念，它相当于用有限个点去“罩住”整个集合。

定义 3.3 (\(\epsilon\)-网)

设 \(X\) 为距离空间，\(A, B \subset X\)。\(\epsilon > 0\) 为一给定的正数。如果对于 \(A\) 中的任一点 \(x\)，都存在 \(B\) 中的点 \(y\) 使得 \(\rho(x, y) < \epsilon\)，则称 \(B\) 是 \(A\) 的一个 \(\epsilon\)-网 (\(\epsilon\)-net)。

(换言之，以 \(B\) 中所有点为中心、\(\epsilon\) 为半径的开球的并集，包含了 \(A\)。注意：\(B\) 不一定需要包含在 \(A\) 中。)

定义 3.4 (全有界集 Totally Bounded Set)

设 \(A\) 为距离空间 \(X\) 的子集。如果对于任给的 \(\epsilon > 0\)，\(A\) 总存在有限的 \(\epsilon\)-网，则称 \(A\) 是全有界集。

全有界集有以下直观性质：

任何有限集都是全有界的；
全有界集的子集也是全有界的；
设 \(A\) 为全有界集，则对任给的 \(\epsilon > 0\)，我们总可以取 \(A\) 自身的一个有限子集作为 \(A\) 的一个 \(\epsilon\)-网。

证明：全有界集的网可以取在自身内部

由于 \(A\) 全有界，对于给定的 \(\epsilon > 0\)，\(X\) 中存在有限的 \(\epsilon/2\)-网 \(\{x_1, \dots, x_{n_0}\}\)。如果不妨设对每个 \(k\)，球与 \(A\) 均有交集（若无交集可直接剔除该球）：

\[ A \cap S\left(x_k, \frac{\epsilon}{2}\right) \ne \emptyset \]

我们在每个交集中任取一点 \(y_k \in A \cap S(x_k, \epsilon/2)\)。由三角不等式，这组有限的点集 \(\{y_1, \dots, y_{n_0}\} \subset A\) 即为 \(A\) 的一个有限 \(\epsilon\)-网。 \(\square\)

定理 3.1

全有界集必是有界且可分的。

定理 3.1 的证明（点击展开）

1. 证明有界性： 设 \(A \subset X\) 全有界，故 \(A\) 存在有限的 1-网 \(B_1 = \{x_1, \dots, x_{n_0}\}\)。对任给的 \(x \in A\)，存在 \(x_k \in B_1\) 使得 \(\rho(x, x_k) < 1\)。由三角不等式，对固定的点 \(x_{n_0}\)：

\[ \rho(x, x_{n_0}) \le \rho(x, x_k) + \rho(x_k, x_{n_0}) \le 1 + \max_{1 \le k \le n_0} \rho(x_k, x_{n_0}) < \infty \]

由于右侧是有限个常数的最大值，说明 \(A\) 包含在一个半径有限的球内，故 \(A\) 有界。

2. 证明可分性： 对于每个自然数 \(n\)，\(A\) 都存在有限的 \(1/n\)-网，记为 \(B_n \subset A\)。令 \(B = \bigcup_{n=1}^\infty B_n\)。因为可列个有限集的并集仍是至多可列集，故 \(B\) 是可列集。对任一 \(x \in A\) 和任意 \(\epsilon > 0\)，选取 \(k\) 使得 \(1/k < \epsilon\)。由于 \(B_k\) 是 \(1/k\)-网，必然存在 \(x_k \in B_k \subset B\)，使得 \(\rho(x, x_k) < 1/k < \epsilon\)。这说明 \(B\) 在 \(A\) 中稠密，因此 \(A\) 可分。 \(\square\)

3. 完备空间中的准紧性与紧性

准紧性与全有界性在一般的距离空间中是单向蕴含关系，但在完备空间中它们是完全等价的。

定理 3.2 (准紧与全有界的等价性)

设 \(X\) 为距离空间。 1. 若 \(A \subset X\) 准紧，则 \(A\) 全有界。 2. 若 \(X\) 是完备的距离空间，则当 \(A\) 全有界时，\(A\) 必定准紧。

定理 3.2 的证明（点击展开）

(1) 准紧 \(\implies\) 全有界（反证法）： 假设 \(A\) 准紧但不是全有界的。那么必定存在某个 \(\epsilon_0 > 0\)，使得 \(A\) 没有有限的 \(\epsilon_0\)-网。任取 \(x_1 \in A\)；因为 \(\{x_1\}\) 不能成为 \(\epsilon_0\)-网，故必存在 \(x_2 \in A\) 使得 \(\rho(x_1, x_2) > \epsilon_0\)。同理，\(\{x_1, x_2\}\) 也不是 \(\epsilon_0\)-网，故必存在 \(x_3 \in A\) 使得 \(\rho(x_3, x_j) > \epsilon_0\) (\(j=1,2\))。无限进行下去，我们构造出一个点列 \(\{x_n\} \subset A\)，满足对任意 \(m \ne n\)：

\[ \rho(x_m, x_n) > \epsilon_0 \]

显然这个点列没有任何 Cauchy 子列，自然也没有收敛子列，这与 \(A\) 的准紧性矛盾！故 \(A\) 全有界。

(2) 完备空间中，全有界 \(\implies\) 准紧： 设 \(X\) 完备，\(A\) 全有界。任取 \(A\) 中的点列 \(\{x_n\}\)，我们要从中提取收敛子列。（若序列中互异点只有有限个，则必然有常数收敛子列；故假定互异点有无穷多个，记为集合 \(B_0\)）。

因为 \(A\) 全有界，其子集 \(B_0\) 也全有界。用有限个半径为 \(1/2\) 的开球覆盖 \(B_0\)。由抽屉原理，至少有一个球包含了 \(B_0\) 中的无限个元素，记这部分元素构成的集合为 \(B_1\)。显然 \(B_1\) 直径不超过 1。接着，对全有界集 \(B_1\)，用有限个半径为 \(1/4\) 的开球覆盖，又能挑出一个包含无限个元素的子集 \(B_2\)，其直径不超过 \(1/2\)。依此类推，我们得到一系列嵌套集合：

\[ B_1 \supseteq B_2 \supseteq \dots \supseteq B_k \supseteq \dots \]

满足每个 \(B_k\) 都有无限个序列中的点，且 \(\text{diam}(B_k) \le 1/2^{k-1}\)。现在构造子列：取 \(x_{n_1} \in B_1\)；在 \(B_2\) 中挑一个下标更大的 \(x_{n_2}\) (\(n_2 > n_1\))；依此类推，取 \(x_{n_k} \in B_k\) (\(n_k > n_{k-1}\))。对于任意 \(m > k\)，由于 \(x_{n_m}, x_{n_k} \in B_k\)，有：

\[ \rho(x_{n_k}, x_{n_m}) \le \frac{1}{2^{k-1}} \xrightarrow{k \to \infty} 0 \]

这说明提取出的子列 \(\{x_{n_k}\}\) 是 Cauchy 列。由于空间 \(X\) 完备，该 Cauchy 列必然在 \(X\) 中收敛。故 \(A\) 准紧。 \(\square\)

推论：

紧集必定是有界且可分的。
完备距离空间中，\(A\) 准紧 \(\iff\) 对于任给 \(\epsilon>0\)，\(A\) 存在准紧的 \(\epsilon\)-网。
距离空间中的紧集本身是一个完备的距离空间（因为其 Cauchy 列必有收敛子列，且极限在自身内，故必然收敛）。

定理 3.3 (紧集套定理)

设 \(K_n\) 为距离空间 \(X\) 中的一列非空紧集，满足嵌套关系：

\[ K_1 \supseteq K_2 \supseteq \cdots \supseteq K_n \supseteq \cdots \]

则它们的交集 \(\bigcap_{n=1}^\infty K_n\) 非空。

紧集套定理的证明

在每个紧集 \(K_n\) 中任取一点 \(x_n\)，得到点列 \(\{x_n\}\)。因为所有的 \(x_n\) 都含于紧集 \(K_1\) 中，根据紧性定义，点列 \(\{x_n\}\) 必然存在一个子列 \(\{x_{n_k}\}\)，它在 \(K_1\) 中收敛于某一点 \(x_0\)。

对于任意给定的整数 \(n\)，当 \(n_k \ge n\) 时，有 \(x_{n_k} \in K_{n_k} \subseteq K_n\)。也就是说，子列中从某项开始，全部落在 \(K_n\) 中。由于紧集必定是闭集，极限点也必属于该闭集，即 \(x_0 \in K_n\)。由于 \(n\) 是任意取的，故 \(x_0 \in \bigcap_{n=1}^\infty K_n\)。交集非空。 \(\square\)

4. 紧集的拓扑刻画：有限覆盖与有限交

在微积分中，实数轴上的有界闭区间享有著名的 Heine-Borel 有限覆盖定理。在一般距离空间中，这一性质不仅成立，而且它是紧集的完美等价刻画。

定义 3.5 (开覆盖与有限子覆盖)

设 \(X\) 是距离空间，\(A \subset X\)。设 \(\{G_c\}_{c \in J}\) 是 \(X\) 中某些开集组成的族。如果 \(A \subseteq \bigcup_{c \in J} G_c\)，则称 \(\{G_c\}_{c \in J}\) 为 \(A\) 的开覆盖。如果下标集 \(J\) 是有限集，则称为 \(A\) 的有限开覆盖。

(注：一般距离空间中的有界闭集未必满足有限覆盖定理。前面的 \(L^2[-\pi,\pi]\) 中的反例，以序列元素为中心的开球 \(\{S(e_k, 1/2)\}\) 相互不相交，无法从中选出有限个来覆盖该闭集。)

定理 3.4 (Borel 有限覆盖定理：紧集的判别准则)

距离空间 \(X\) 的子集 \(A\) 为紧集的充分必要条件是：从 \(A\) 的任一开覆盖中都能选出一个有限子覆盖。

有限覆盖定理的证明（点击展开）

1. 必要性 (紧集 \(\implies\) 可选出有限子覆盖)： 设 \(A\) 为紧集，\(\{G_c\}_{c \in J}\) 是 \(A\) 的开覆盖。我们先证明存在一个所谓的“Lebesgue 数” \(\epsilon_0 > 0\)，使得对一切 \(x \in A\)，开球 \(S(x, \epsilon_0)\) 必完全包含在某个单一的开集 \(G_c\) 中。反证法：若不然，对每个自然数 \(n\)，存在 \(x_n \in A\)，使得开球 \(S(x_n, 1/2^n)\) 不被任何一个 \(G_c\) 包含。由于 \(A\) 是紧集，点列 \(\{x_n\}\) 有子列 \(\{x_{n_k}\}\) 收敛于 \(A\) 中某点 \(x_0\)。因为 \(\{G_c\}\) 覆盖 \(A\)，必定存在某个 \(G_{c_0}\) 使得 \(x_0 \in G_{c_0}\)。作为开集，存在 \(r > 0\) 使得 \(S(x_0, r) \subset G_{c_0}\)。当 \(k\) 足够大时，\(\rho(x_{n_k}, x_0) < r/2\) 且 \(1/2^{n_k} < r/2\)。根据三角不等式，此时 \(S(x_{n_k}, 1/2^{n_k}) \subset S(x_0, r) \subset G_{c_0}\)，这与之前的假设（不被任何 \(G_c\) 包含）矛盾！故 \(\epsilon_0\) 存在。

由于 \(A\) 紧，必然全有界，故存在有限个开球 \(\{S(x_j, \epsilon_0)\}_{j=1}^l\) 覆盖 \(A\)。根据 \(\epsilon_0\) 的性质，每个开球 \(S(x_j, \epsilon_0)\) 都被某个开集 \(G_{c_j}\) 包含。取出这 \(l\) 个对应的开集，它们构成的族 \(\{G_{c_j}\}_{j=1}^l\) 显然也覆盖了 \(A\)，这就是我们要找的有限子覆盖。

2. 充分性 (每个开覆盖都有有限子覆盖 \(\implies\) 紧集)： 设条件成立，且 \(\{x_n\}\) 是 \(A\) 中的点列。我们要证明其有收敛子列。反证法：如果 \(\{x_n\}\) 在 \(A\) 中没有任何收敛子列，那么对于 \(A\) 中的每一个点 \(y\)，都存在一个邻域 \(S(y, \delta_y)\)，使得该点列中只有有限项落在这个邻域内（否则 \(y\) 就是一个聚点，可提取收敛子列）。显而易见，这族开球 \(\{S(y, \delta_y)\}_{y \in A}\) 构成了 \(A\) 的一个开覆盖。根据定理假设，从中可以挑出有限个开球 \(\{S(y_j, \delta_{y_j})\}_{j=1}^l\) 覆盖 \(A\)。但是，每个选出的开球只包含序列 \(\{x_n\}\) 中的有限项，那么它们的有限并集（即整个 \(A\)）也只能包含序列中的有限项！这与 \(\{x_n\}\) 是一个无穷序列相矛盾。故必定存在收敛子列，\(A\) 为紧集。 \(\square\)

紧集的有限覆盖性质可以通过对偶转换（De Morgan 定律）变成闭集的性质：

定义 3.6 (有限交性质 Finite Intersection Property)

设 \(\{F_c\}_{c \in J}\) 是距离空间 \(X\) 中的一族集合。如果其中任一有限子族都具有非空的交集，则称该集族具有有限交性质。

定理 3.5

距离空间中的闭子集 \(A\) 为紧集的充分必要条件是：\(A\) 中每个具有有限交性质的闭子集族都有非空的交集。

有限交性质的证明（点击展开）

1. 必要性 (紧集 \(\implies\) 非空交)： 反证法：设 \(A\) 为紧集，\(\{F_c\}_{c \in J}\) 是一族具有有限交性质的闭子集，但它们全体的交集为空，即 \(\bigcap_c F_c = \emptyset\)。令开集 \(G_c = X \setminus F_c\)。由于 De Morgan 定律：

\[ \bigcup_c G_c = \bigcup_c (X \setminus F_c) = X \setminus \bigcap_c F_c = X \setminus \emptyset = X \]

这说明 \(\{G_c\}\) 构成了全空间 \(X\) 的开覆盖，自然也覆盖了 \(A\)。由紧性，存在有限子覆盖 \(\{G_{c_j}\}_{j=1}^l\) 覆盖 \(A\)。再次取补集：

\[ \bigcap_{j=1}^l F_{c_j} = \bigcap_{j=1}^l (X \setminus G_{c_j}) = X \setminus \bigcup_{j=1}^l G_{c_j} \subseteq X \setminus A \]

然而，所有的 \(F_c\) 都是 \(A\) 的子集，因此它们的交集必定含于 \(A\) 内。即 \(\bigcap_{j=1}^l F_{c_j} \subseteq A \cap (X \setminus A) = \emptyset\)。这与前提“具有有限交性质”（有限个的交非空）相矛盾！

2. 充分性 (具有非空交 \(\implies\) 紧集)： 设任一具有有限交性质的闭子集族交集非空。我们要证明 \(A\) 的任一开覆盖都有有限子覆盖。设 \(\{G_c\}_{c \in J}\) 是 \(A\) 的开覆盖。定义闭子集 \(F_c = A \setminus G_c\)。由于：

\[ \bigcap_{c \in J} F_c = \bigcap_{c \in J} (A \setminus G_c) = A \setminus \bigcup_{c \in J} G_c = \emptyset \]

可知 \(\{F_c\}_{c \in J}\) 这个闭子集族不具有有限交性质（否则根据前提全体交集非空）。既然不具有有限交性质，说明必定存在一个有限子族 \(\{F_{c_j}\}_{j=1}^l\)，使得它们的交集为空：

\[ \bigcap_{j=1}^l F_{c_j} = \emptyset \]

对等式取补集退回开集：

\[ \bigcup_{j=1}^l G_{c_j} \supseteq \bigcup_{j=1}^l (A \setminus F_{c_j}) = A \setminus \bigcap_{j=1}^l F_{c_j} = A \setminus \emptyset = A \]

这就找到了有限子覆盖，证明了 \(A\) 是紧集。 \(\square\)

5. 紧集上的连续映射

紧集在连续映射下具有非常优良的“保向性”。微积分中关于闭区间上连续函数的几个最著名定理，在一般距离空间的紧集上均成立。

定理 3.6 (紧集的像仍是紧集)

设 \(X, Y\) 都是距离空间，闭子集 \(A \subset X\) 为紧集。若 \(T\) 是由 \(X\) 到 \(Y\) 的连续映射，则 \(A\) 的像 \(T(A)\) 是 \(Y\) 中的紧集。

证明（点击展开）

设 \(\{y_n\}\) 为 \(T(A)\) 中的一个点列，则在 \(A\) 中必存在对应的原像点列 \(\{x_n\}\)，使得 \(y_n = T(x_n)\)。由于 \(A\) 是紧集，点列 \(\{x_n\}\) 必然存在子列 \(\{x_{n_k}\}\)，在 \(A\) 中收敛于某一点 \(x_0 \in A\)。又因为映射 \(T\) 是连续的，根据连续的序列判定法，极限和映射可交换：

\[ \lim_{k \rightarrow \infty} y_{n_k} = \lim_{k \rightarrow \infty} T(x_{n_k}) = T(x_0) \]

由于 \(x_0 \in A\)，显然 \(T(x_0) \in T(A)\)。这说明 \(T(A)\) 中的任意点列都有收敛于 \(T(A)\) 中的子列，故 \(T(A)\) 是紧集。 \(\square\)

紧集上的连续映射不仅是逐点连续的，而且是一致连续的 (Uniformly Continuous)。

定理 3.7 (一致连续定理)

设 \(X, Y\) 是距离空间，紧集 \(A \subset X\)。若 \(T: A \rightarrow Y\) 连续，则 \(T\) 在 \(A\) 上一致连续。

一致连续定理的证明（点击展开）

反证法。一致连续的定义为：对任给的 \(\epsilon > 0\)，存在仅与 \(\epsilon\) 有关的 \(\delta > 0\)，使得当 \(\rho(x, y) < \delta\) 时，有 \(\rho_1(T(x), T(y)) < \epsilon\)。

假设 \(T\) 不是一致连续的，这就意味着：存在一个固定的 \(\epsilon_0 > 0\)，无论 \(\delta\) 取多小，都能找到靠得很近的点，使得它们映射后的距离大于 \(\epsilon_0\)。令 \(\delta_n = 1/n\)，则存在点列 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\) 包含于 \(A\) 中，使得：

\[ \rho(x_n, y_n) < \frac{1}{n} \quad \text{但是} \quad \rho_1(T(x_n), T(y_n)) > \epsilon_0 \]

由于 \(A\) 是紧集，序列 \(\{x_n\}\) 存在收敛子列 \(\{x_{n_k}\}\)，在 \(A\) 中收敛于某一点 \(x_0\)。由于 \(\rho(x_{n_k}, y_{n_k}) < 1/n_k \rightarrow 0\)，通过三角不等式：

\[ \rho(y_{n_k}, x_0) \le \rho(y_{n_k}, x_{n_k}) + \rho(x_{n_k}, x_0) \xrightarrow{k \to \infty} 0 \]

说明对应的子列 \(\{y_{n_k}\}\) 也收敛于同一个极限点 \(x_0\)。既然 \(x_{n_k} \rightarrow x_0\) 且 \(y_{n_k} \rightarrow x_0\)，利用 \(T\) 在 \(x_0\) 处的连续性，两者的像点都应当收敛于 \(T(x_0)\)。因此，由三角不等式：

\[ \rho_1(T(x_{n_k}), T(y_{n_k})) \le \rho_1(T(x_{n_k}), T(x_0)) + \rho_1(T(y_{n_k}), T(x_0)) \xrightarrow{k \to \infty} 0 \]

这要求当 \(k\) 充分大时，\(\rho_1(T(x_{n_k}), T(y_{n_k})) \to 0\)。但这与我们最初的假设 \(\rho_1(T(x_{n_k}), T(y_{n_k})) > \epsilon_0 > 0\) 产生了不可调和的矛盾！故 \(T\) 必然是一致连续的。 \(\square\)

将目标空间 \(Y\) 取为实数域 \(\mathbb{R}\)，我们立即得到经典的极值定理。

推论 (连续泛函的极值定理)

设 \(X\) 是距离空间，\(A\) 是 \(X\) 中的紧集。\(f\) 是定义在 \(A\) 上的连续泛函（实值函数），则 \(f\) 有界，且在 \(A\) 上必能达到其上、下确界。

极值定理的推导

根据定理 3.6，\(f(A)\) 是实数域 \(\mathbb{R}\) 中的紧集。在实数域中，紧集等价于有界闭集。因为 \(f(A)\) 有界，所以泛函 \(f\) 有界，即存在有限的上确界和下确界。因为 \(f(A)\) 是闭集，它必须包含自己所有的聚点，自然也就包含了它的上、下确界。这意味着存在 \(A\) 中的点能让泛函正好取到这些确界值。 \(\square\)

总结：距离空间中概念的逻辑关联

在一般距离空间中，完备性与紧性具有如下优美的对偶与等价关系网：

核心等价链：紧集 \(\iff\) 完备 + 全有界 \(\iff\) 完备 + 准紧
拓扑刻画的对偶性：任何开覆盖均有有限子覆盖 \(\iff\) 任何具有限交性质的闭子集族必有非空交集。